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Renseignements hebdomadaires

Mise à jour : 14 février 2018



Cours 6: mercredi le 14 février 2018  

  • Vous m'avez remis votre devoir aujourd'hui. Si tout va bien, j'aurai terminé la correction lundi prochain (ou, au plus tard, mardi prochain). Vous saurez quand ce sera fait quand vous recevrez un courriel indiquant que votre note est dans SIGNETS.
  • Nous avons revu certaines notions du dernier cours, en particulier la solution homogène et la méthode des coefficients indéterminés. J'ai refait au tableau des exemples illustrant ces notions. J'ai rappellé l'importance d'utiliser le résumé de la page 165 (ou aux pages 138-139) pour trouver rapidement la solution homogène (avec la calculatrice qui trouve les racines de l'équation homogène associée). J'ai également revu l'importance de bien choisir le candidat pour la solution particulière. J'ai mentionné que si on ne choisit pas le bon candidat, on aura une contradiction après substitution dans l'équation différentielle. Nous avons complété ensuite la section 4.5.1 en voyant les exceptions à cette méthode. Assurez-vous de travailler avec le résumé de la procédure des coefficients indéterminés (l'encadré de la page 150) pour déterminer le bon candidat à utiliser. Consultez les exemples aux pages 151 et 152 pour compléter ce que j'ai montré au cours. Faites les exercices suivants à la page 154: le numéro 4.12 déjà donné la semaine dernière, 4.13 où vous n'avez qu'à trouver le bon candidat pour la solution particulière et 4.14 a) à l), faites-en 1 sur 2. N'oubliez pas que vous pouvez utiliser votre calculatrice pour effectuer une bonne part des calculs algébriques nécessaires dans la résolution de ces problèmes, comme je l'ai montré en classe, mais vous devez indiquer les étapes intermédiaires (je pourrais vous demander d'indiquer quelles opérations sont faites avec votre calculatrice...). En particulier, lorsque vous avez déterminé le bon candidat à utiliser, vous pouvez le saisir avec votre TI, en indiquant "y = mon candidat" et vous servir de la commande de dérivation de votre TI pour remettre rapidement ce candidat dans l'équation et obtenir le système d'équations à résoudre pour trouver la solution particulière voulue (voir pages 147-148 et 152). Vous devez m'écrire le système d'équations à résoudre et m'expliquer d'où il vient.
  • Nous avons vu également la méthode de variation des paramètres (section 4.5.2). Assurez-vous d'utiliser la procédure décrite à la page 157 pour obtenir directement le système d'équations à résoudre.
    Faites les exercices suivants à la page 161: 4.15 (1 sur 2), 4.16, 4.17* et 4.19*.
    Vous devez utiliser votre calculatrice pour résoudre le système d'équations obtenu avec cette méthode, en utilisant la commande Solve( ) sur votre TI. Vous pouvez aussi utiliser une approche matricielle pour résoudre le système d'équations. J'ai montré comment le saisir sous forme matricielle sur la TI et comment le résoudre à l'aide de la matrice inverse de la matrice des coefficients du système d'équations (voir pages 160-161).
  • N'oubliez pas que vous pouvez consulter des documents intéressant sur ces pages http://luciole.ca/gilles/mat265/documents.html ou http://luciole.ca/gilles/mat265/calculatrice.html (solutionnaires, fichiers illustrant les techniques du chapitre 4 avec Nspire, etc.)
  • L'examen mi-session, la semaine prochaine, portera sur les sujets vus dans les chapitres 1 à 4 inclusivement lors des 6 premiers cours de la session. Lisez les résumés des semaines précédentes pour valider ce qu'on a vu...
    Vous aurez droit comme documentation à 3 feuilles 81/2 par 11 recto-verso aide-mémoire et votre calculatrice symbolique.
  • Voici un examen de pratique et son solutionnaire. Lisez bien l'avertissement au début du questionnaire de l'examen de pratique et sautez les numéros 9 et 11 (on n'a pas vu cette matière).

Cours 5: mercredi le 7 février 2018  

  • J'ai donné plusieurs indications sur le devoir à faire, en rappellant que j'ai montré au tp comment résoudre plusieurs problèmes similaires. Je vous rappelle également que vous pouvez venir valider vos réponses avec moi pour vous assurer que vous avez bien répondu aux questions. Aux numéros 2 et 3, assurez-vous que les courbes de vos graphes ne commencent qu'à t=0. Le devoir est à remettre au prochain cours.
  • Nous avons ensuite abordé le chapitre 4 qui traite de la résolution des équations linéaires d'ordre n. On travaillera principalement les équations linéaires à coefficients constants d'ordre 2, mais les techniques vues permettront également la résolution pour un ordre supérieur à deux.
  • Nous avons vu les sections 4.1, 4.2, 4.4 et pour 4.5, les pages 142 à 148 incl. J'ai sauté la section 4.3 sur l'existence d'une solution unique (ce qui sera toujours le cas pour nos équations en MAT265). Dans la section 4.4 , utilisez directement les formules du résumé aux pages 138-139 (ou celui de la page 165) et non le cheminement qui démontre d'où viennent ces formules. Vous avez à faire les exercices suivants à la page 140: 4.1 et 4.2 (faites-en 1 sur 2) puis 4.4, 4.5 et 4.6. Les exercices d'enrichissement (4.7 à 4.11) sont réservés pour ceux qui trouvent les autres très simples. Ils sont d'un niveau beaucoup plus élevé et sont optionnels.
  • Pour voir la situation où les racines sont complexes, j'ai présenté l'ensemble des nombres complexes et donné des explications de base sur ceux-ci, en faisant entre autres le lien avec la formule quadratique. Vous pouvez consulter ce document pour les renseignements de base. Cet autre document explore plus en profondeur ces nombres en voyant par exemple l'analogie avec les vecteurs 2-D et les formes polaires ou exponentielles. Pour les besoins du cours de MAT265, le premier document est suffisant.
  • Dans la section 4.5 , on a commencé à voir la méthode des coefficients indéterminés pour trouver une solution particulière d'une équation différentielle. Lisez les pages 142 à 148. Lisez bien ces pages et regardez les exemples faits. J'ai fait tous les calculs de mes exemples (sauf le premier) à l'aide de la calculatrice. Même si on n'a pas complété l'étude de cette méthode, vous pouvez faire les exercices suivants à la page 154: numéros 4.12, 4.13 b) et e) ainsi que 4.14 a), c) et d). Pour les autres équations à la page 154, attendez la matière du prochain cours.
  • Avec la matière vue aujourd'hui, vous pouvez maintenant faire le numéro 7 du devoir. Quoiqu'il soit tentant de ne travailler que votre devoir d'ici le prochain cours, je vous suggère fortement de faire également quelques uns des exercices suggérés cette semaine (surtout ceux de la page 154). Si vous ne le faites pas, vous risquez de trouver le prochain cours, le dernier avant l'examen mi-session, particulièrement imbuvable!!!
  • Pour voir un exemple similaire à celui de la page 152 (ou similaire au dernier exemple fait en classe), consultez sur cette page l'exemple pour la méthode des coefficients indéterminés (en version Nspire, fichier tns, ou en version PDF). Vous verrez alors le détails des opérations à faire et la partie du traitement à faire avec la calculatrice, avec des commentaires expliquant les commandes utilisées.

Cours 4: mercredi le 31 janvier 2018  

  • J'ai remis au début du cours les mini-tests faits vendredi dernier. Pour la majorité, les résultats sont très bons (moyenne de 32.1 sur 40). Pour certains, c'est moins bien réussi et c'est étonnant vu la similitude des questions avec les exercices que vous deviez faire. J'ai rappellé le concept d'équations linéaires d'ordre 2 ou plus vu au chapitre 1. Une équation peut être linéaire même si les coefficients ne sont pas des constantes. Et j'ai expliqué de nouveau la syntaxe à utiliser avec la commande deSolve(...).
  • J'ai par la suite fait au tableau, en détails, le numéro 2.33 b) en rappelant les étapes de la résolution de l'équation de Bernoulli.
  • Nous avons par la suite vu les applications physiques des équations différentielles du 1er ordre (le chapitre 3). Nous avons utilisé la commande "deSolve" pour résoudre les équations différentielles obtenues lors de l'analyse de ces problèmes physiques, quoique souvent ces équations sont très simples à résoudre manuellement.
  • J'ai commencé avec les applications du mouvement rectiligne, dans la section 3.1. J'ai souligné l'importance du référentiel et du diagramme des forces en présence. J'ai fait des remarques sur les systèmes d'unités et sur la différence entre le poids et la masse d'un objet, voir pages 85 à 87. Le référentiel dicte les signes à utiliser pour les forces et vitesses. On a regardé ensemble les exemples et explications aux pages 88 à 92 et j'ai commenté rapidement les exemples 3.4 et 3.5 aux pages 92 à 96. J'ai toujours utilisé la calculatrice pour résoudre directement l'équation différentielle du mouvement (avec la commande deSolve) et ensuite faire les graphes (en adaptant la fenêtre graphique) de la vitesse et la position de l'objet pendant la chute. Faites les exercices 3.1 à 3.9 à la page 96, sauf le numéro 3.4.
  • J'ai poursuivi le cours avec la section 3.2; j'ai présenté les notions des circuits électriques simples avec le vocabulaire de base (pages 98 à 101) et on a considéré, en exemples, une équation pour un circuit R-C et une équation de circuit R-L (pages 101 à 105). On a rapidement vu le concept de "temps de réponse" aux pages 103-104 pour aider à se faire une idée de l'intervalle pertinent pour tracer une solution lorsque la source est constante. Mais avec la commande "Solve" de votre calculatrice, vous pouvez être plus précis que les résultats obtenus avec ces valeurs. Je terminerai cette section au tp vendredi en regardant l'exemple 3.8 à la page 105, où on retrouve une source variable (sinusoïdale) dans un circuit RL. Je montrerai comment, avec votre calculatrice, exprimer une combinaison linéaire de sinus et cosinus de même fréquence en un seul terme sinus ou cosinus mais incluant un angle de phase (voir page 106). L'avantage de cette dernière forme est d'exprimer, entre autres, l'amplitude de la solution trouvée. On verra également dans cet exemple la notion de régime permanent pour ce circuit.
  • Faites les exercices 3.11 à 3.17 de cette section à la page 107.
    Je vous recommande fortement de lire ces deux sections (3.1 et 3.2) des notes de cours pour compléter cette matière vue aujourd'hui. Nous ne verrons pas la section 3.3 quoique vous avez intérêt à lire le début de celle-ci pour vous aider avec le numéro 1 du devoir.
  • J'ai distribué un devoir (compte pour 10% de la note finale) à faire en équipes de 2 ou 3 personnes. Vous avez deux semaines pour le faire; il est à remettre au 6e cours, donc remise mercredi le 14 février. Avec la matière vue à date, vous pouvez faire tous les numéros sauf le numéro 7. Les remarques à venir au prochain tp peuvent aider à faire le numéro 3.
    Vous remettez une copie manuscrite de vos solutions par équipe. Les graphes doivent cependant être produits et imprimés à partir d'un logiciel sur un ordinateur.

Cours 3: mercredi le 24 janvier 2018  

  • N'oubliez pas le mini-test vendredi prochain le 26 janvier au début du tp à 9h00. Vous aurez droit comme documentation à 3 feuilles 81/2 par 11, recto-verso, aide-mémoire et votre calculatrice symbolique. Le mini-test devrait durer environ 30-40 minutes et portera sur la matière vue au cours 1 et 2, donc le chapitre 1 des notes de cours, sans les itérations de Picard, et la section 2.1 du chapitre 2 (voir textes plus bas pour plus de détails). La matière vue aujourd'hui n'est pas incluse pour le mini-test de mardi.
    Je serai disponible à mon bureau jeudi (le 25 janvier) de 11h00 à 12h00. De plus, je serai au nouveau service de Dépanneur mathématique, jeudi de 12h15 à 13h15 au local B-3422 (voir cette page pour l'horaire du Dépanneur).
  • J'ai rappellé la notion d'équation à variables séparables (section 2.1) et j'ai fait l'exercice 2.5 à la page 51. J'ai expliqué de nouveau comment séparer les variables. On résoud ensuite en effectuant deux intégrales. On obtient dans ce cas une solution implicite et on a trouvé la valeur de la constante avec la condition initiale. Le plus dur est de voir ce que représente la courbe solution obtenue. J'ai montré comment utiliser le mode graphique "Modèles d'équation--Conique" pour tracer la solution. J'ai montré également comment utiliser la commande "Complétez le carré" dans le menu algèbre pour obtenir l'équation de l'ellipse.
  • Nous avons continué dans le chapitre 2 à voir certaines techniques de résolution algébrique des équations différentielles d'ordre 1. En particulier, nous avons vu les équations linéaires, l'équation de Bernoulli et l'équation homogène tout en insistant sur le concept de changement de variables (sections 2.2 et 2.4). J'ai insisté sur la reconnaissance de la forme de l'équation différentielle, en la transformant au besoin pour atteindre les formes classiques voulues (séparable, linéaire, Bernoulli ou homogène). On ne verra pas les équations exactes dans ce chapitre (section 2.3). Pour l'équation linéaire, vous utilisez directement la procédure en 2 étapes indiquée dans l'encadré de la page 55. J'ai également vu dans la section 2.2 la désintégration radioactive (pages 59-60) qui est un sujet facile car la solution générale est simple et toujours la même...
  • Pour l'équation homogène, on utilise la procédure donnée en haut de la page 73. Dans l'exemple fait en classe, j'ai insisté sur l'utilisation de la calculatrice autant pour obtenir le résultat du changement de variables, que pour effectuer les intégrales et simplifier la solution obtenue en des formes équivalentes.
  • Pour l'équation de Bernoulli, appliquez les étapes de résolution indiquées dans l'encadré de la page 77.
  • Pour les exercices dans les sections 2.2 faites les numéros 2.11 et 2.12 à la page 61. Attention, au numéro 2.11 on vous demande seulement de vérifier si l'équation est linéaire, vous n'avez pas à la résoudre. Faites également les numéros 2.13 (sauf f)), 2.14 et 2.15 et pour ceux qui n'ont pas de difficultés, considérez les numéros 2.13 f) 2.17, 2.18 et 2.22.
  • Dans la section 2.4, aux pages 78-79, faites les exercices 2.28, 2.29, 2.30, 2.31 a) et 2.33. Après avoir fait tous les autres, vous pouvez aussi regarder les numéros 2.31b) et 2.34 (optionnels). Finalement, pour vous préparer à l'examen intra, vous pourrez essayer les numéros 2.36 et 2.37 à la page 80 (sauf le 2.36 k) et 2.37 a) h) et k)).
    Dans le numéros avec plusieurs équations à résoudre, il est préférable d'en faire 1 sur 2 ou 1 sur 3 et couvrir tous les exercices à faire.
  • Je vous rappelle qu'il faut être prudent dans l'utilisation de la calculatrice lors des examens. Quoique vous pouvez utiliser celle-ci pour le calcul de dérivées et d'intégrales, il faut cependant indiquer les étapes des calculs intermédiaires et montrer,au besoin, les étapes des calculs algébriques.
  • La semaine prochaine, nous travaillerons dans les applications du chapitre 3. Je vous distribuerai un devoir à faire en équipes de 2 à 3 personnes. Vous aurez 2 semaines pour faire ce devoir.

Cours 2: mercredi le 17 janvier 2018  

  • J'ai répondu à certaines questions touchant le cours 1, notamment j'ai parlé du numéro 1.10 de la page 20 où j'ai résolu "manuellement" l'exercice c), tout en effectuant les intégrales avec la calculatrice. Je voulais ainsi m'assurer que vous compreniez bien ce qu'on attend de vous lorsque vous résolvez ce type d'équations. On a également discuter de l'apparition de valeurs absolues (ou pas) dans les résultats d'intégrales et on a discuté du concept de réponses algébriquement équivalentes. Je vous rappelle que la commande Desolve( ), voir page 37, ne peut-être utilisée que pour vérifier la solution et non pour résoudre les équations.
  • Après avoir revu comment produire avec votre calculatrice un champ de pentes, on s'est attardé sur la méthode utilisée pour générer, à partir d'une condition initiale, une courbe (plutôt une liste de points...) estimant numériquement la solution d'une équation différentielle d'ordre 1. On a ainsi abordé dans cette section la méthode d'Euler aux pages 25 à 29. C'est cette méthode que Nspire utilise pour tracer numériquement des solutions avec nos champs de pentes lorsqu'on fournit une ou des conditions initiales avec l'équation différentielle. J'ai expliqué en détails cette méthode et on a regardé l'exemple de la page 27 pour bien comprendre la mécanique de cette méthode. En exercices vous devrez pouvoir produire un tableau comme celui de l'exemple à la page 27. Nous avons vu comment utiliser la TI pour effectuer et afficher le résultat de l'utilisation de cette méthode. Le document suivant explique en détails, aux pages 3 et suivantes, comment utilisez Nspire pour produire ce type de solution numérique.
  • À la section 1.4, pages 31 à 33 j'ai vu brièvement un théorème donnant des condition suffisantes à l'existence d'une solution pour une équation d'ordre 1 avec condition initiale. Mais on a sauté la dernière partie portant sur la méthode des approximations successives de Picard. Donc vous pouvez sauter les pages 33 à 36 sur ce sujet qui permet, sous les hypothèses du théorème précédent de créer une suite convergente de fonctions qui approximent bien, localement, le comportement de la vraie solution. Dans le cas du théorème d'existence, je suis passé assez rapidement en ne donnant qu'un aperçu de son fonctionnement.
  • Pour compléter les exercices déjà donnés dans le chapitre 1, faites les numéros 1.20 à 1.25 à la page 30. Faites également les exercices 1.26, 1.27 et 1.28 à la page 39. On a regardé en classe les numéros 1.32 et 1.33 pour mieux comprendre le théorème d'existence. De plus je vous invite à lire les exemples 1.20 et 1.21 aux pages 36 à 38 pour revoir l'utilisation de la commande deSolve( ) et pour voir un exemple plus en profondeur où Nspire est utilisée pour de nombreux calculs.
  • J'ai présenté ensuite la notion d'équations différentielles d'ordre 1, à variables séparables à la section 2.1 du chapitre 2. On a vu que vous devez, si nécessaire, faire manuellement les manipulations algébriques pour séparer les variables. Cette technique peut souvent produire des solutions implicites plutôt qu'explicites. On a remarqué également que l'utilisation de la calculatrice pour le calcul des intégrales peut conduire à des formes différentes, mais algébriquement équivalentes à une constante près, de solutions. On a aussi revu la loi de refroidissement de Newton déjà abordée au début du chapitre 1, et j'ai fait remarqué que la solution de l'équation de la température, qui est une équation différentielle à variables séparables, est toujours celle donnée à l'équation 2.4 en bas de la page 48. Lisez la section 2.1 (pages 43 à 50) pour compléter ce que j'ai fait.
  • Comme exercices dans le chapitre 2, faites les numéros 2.1, 2.2, et 2.5 à 2.10 aux pages 50 à 52.
  • Comme mentionné au 1er cours, n'oubliez pas le mini-test vendredi le 26 janvier au début du tp à 9h00. Vous aurez droit comme documentation à 3 feuilles 81/2 par 11 recto-verso aide-mémoire et votre calculatrice symbolique. Le mini-test devrait durer environ 30-40 minutes et portera sur la matière vue au cours 1 et 2 (donc le chapitre 1 des notes de cours, sans les itérations de Picard, et la section 2.1 du chapitre 2).
Cours 1: mercredi le 10 janvier 2018  
  • Attention: désolé, exceptionnellement je ne serai pas disponible à mon bureau mardi 16 janvier de 10:30 à midi. Je dois assister à un comité, engagement pris il y a plusieurs mois. Je répondrai cependant au début du cours à vos questions sur la matière et les exercices à faire.
  • En plus de la présentation du cours, j'ai signalé l'importance de pouvoir exécuter plusieurs opérations classiques avec la calculatrice symbolique (TI-Nspire CX CAS), entre autres la résolution des équations et des systèmes d'équations, le tracé de graphiques ainsi que le calcul de dérivées et d'intégrales. Quoique vous sembliez tous familiers avec la calculatrice, je vous souligne que vous pouvez consulter, au besoin, le site Internet de support sur l'utilisation des calculatrices TI.
  • J'ai précisé pour ce qui est de l'évaluation que vous aurez deux devoirs (à faire en équipes de 2 à 3 personnes) comptant chacun pour 10% et deux mini-tests comptant chacun pour 5% de la note finale. Le premier mini-test aura lieu au début du tp qui suit le 3e cours de la session, cela donne vendredi le 26 janvier à 9h00. Vous aurez droit comme documentation aux mini-tests à votre calculatrice et 3 feuilles 81/2 par 11 recto-verso aide-mémoire. Le mini-test devrait durer environ 30 minutes et portera sur la matière vue au cours 1 et 2 (probablement le chapitre 1 des notes de cours).
    Le 2e mini-test sera au début du tp qui suit le cours 10 (vendredi le 16 mars) et portera sur les cours 8 et 9. Pour l'examen intra (21 février), vous aurez droit à ce qui est indiqué au plan de cours pour l'examen final, à savoir 3 feuilles 8 1/2 par 11 recto-verso aide-mémoire et votre calculatrice symbolique (les tables mentionnées ne sont nécessaires que pour l'examen final).
  • J'ai présenté au premier cours les équations différentielles, leur importance en sciences et en génie. Nous avons vu certaines définitions et notions de base, les notions de solution générale et de solution particulière d'une équation différentielle et nous avons résolu certaines équations différentielles, à la main pour des équations directement intégrables, et avec la commande deSolve( ) sur la calculatrice pour valider certaines réponses. Je montrerai de nouveau au tp comment utiliser cette commande pour résoudre des équations semblables à l'équation 1.1 de l'exemple 1 au début des notes de cours et pour l'équation du problème de la température du café.
    J'ai montré comment vérifier qu'une solution explicite ou implicite est solution d'une équation différentielle; dans le cas de solution implicite, je suis revenu sur la notion de dérivation implicite vue en MAT-145 (et en MAT-165 pour ceux qui l'ont fait). J'ai rappellé qu'avec la TI-Nspire, on peut faire une dérivation implicite en utilisant la commande
         impDif(equation,variable indépendante,variable dépendante), c'est l'avant-dernière commande du menu "Analyse" sur votre calculatrice.
  • Nous avons révisé certaines notions de base en mathématiques, par exemple les propriétés des exponentielles et des logarithmes, que l'on retrouve dans le formulaire mathématique à l'annexe A.1 des notes de cours ( ou avec ce lien) et j'ai rappellé certaines notions du calcul différentiel et intégral.
  • ATTENTION: vous pouvez acheter le cahier de mes notes de cours à la COOP. Le document est produit selon le modèle des notes de cours en MAT145. Ce document est également disponible en version PDF.
    En résumé, nous avons vu lors de ce premier cours les sections 1.1 et 1.2 des notes de cours (pages 1 à 19).
  • J'ai terminé le cours en montrant le mode graphique "Équations différentielles" de votre TI et la notion de champ de pentes, pages 21 à 24. Je montrerai de nouveau au tp vendredi prochain comment utiliser cet environnement (vous pouvez également consulter ce document ou celui-ci). Assurez-vous d'avoir votre calculatrice au prochain tp. Pour compléter mon cours, lisez jusqu'à la page 24 du manuel.
    Faites les exercices 1.1 à 1.11 aux pages 9 et 19. Vous pouvez également faire les exercices 1.12 à 1.19 à la page 30.
  • Les solutions des exercices du chapitre 1 sont disponibles sur mon site d'aide en MAT265, dans la section "Documents de référence". Voici un lien direct.


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