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Renseignements hebdomadaires

Mise à jour : 4 avril 2018



Cours 13: mercredi le 4 avril 2018  

  • Votre devoir corrigé devrait normalement vous être remis au tp vendredi. Quand la correction sera terminée, les notes seront entrées sur SIGNETS.
  • L'examen final est mercredi 18 avril à 13h30. Voici mes périodes de disponibilités à mon bureau (B-2530) avant celui-ci:
    • jeudi le 12 avril, de 13h30 à 15h30
    • lundi le 16 avril, de 11h00 à 12h00 et de 13h30 à 15h00
    • mardi le 17 avril, de 13h30 à 15h30
    • mercredi le 18 avril, de 11h00 à 12h00
    La documentation permise, tel qu'indiqué au plan de cours est: un résumé personnel de 3 feuilles 8 ½ X 11, recto-verso, les tables de transformées de Laplace (1 feuille recto-verso) et de séries de Fourier (1 feuille recto-verso) imprimées à partir du site du cours et la calculatrice symbolique. Je souligne qu'il existe un examen final de pratique disponible sur ma page principale avec son solutionnaire.
  • J'ai fait un rappel sur les notions vues la semaine dernière, en montrant de nouveau un exemple où l'on fait un prolongement périodique pair d'une fonction définie sur un intervalle du type [0;L]. On a considéré les calculs faits avec les définitions avec intégrales et on a produit le graphique contenant la fonction périodique et une somme partielle de Fourier de celle-ci.
  • J'ai distribué en classe une table de séries de Fourier. N'oubliez pas de l'avoir avec vous pour l'examen final.
  • Avertissement: dû à une erreur d'impression, la version papier des notes de cours ne contient pas certaines corrections ou ajouts faits par moi. La version PDF est cependant exacte, consultez-la au besoin. J'ai montré ensuite comment utiliser cette table de séries de Fourier pour obtenir celle d'une fonction similaire, sauf pour l'amplitude et/ou la période (section 8.3).
  • J'ai fait 3 exemples à l'aide de cette technique. Dans les exemples 2 et 3, j'ai montré comment adapter le problème à faire pour retrouver essentiellement le même type de fonctions que celles de la table. On a également revu comment utiliser une somme partielle de notre série pour valider la réponse trouvée.
    Pour les exercices à la page 265, refaites en vous servant de la table, le calcul de la série de Fourier des exercices 2, 3, 6 à la page 259 et les numéros 1, 3, 4 et 6 à la page 262.
  • J'ai terminé le cours avec un exemple de résolution d'équation différentielle où le terme de droite est une fonction périodique, comme indiqué à la section 8.4. J'ai ensuite produit un graphe avec la solution particulière (qui dans mon cas était le régime permanent de la solution) obtenue (somme partielle) et on l'a comparé avec la fonction périodique à droite de l'équation. Cela nous a permis de comparer l'input et l'output d'un système linéaire (en régime permanent). À la page 269, regardez les exercices 1, 2 et 4; consultez au besoin le solutionnaire du chapitre 8.
    Pour tous les problèmes de ce chapitre, vous devez produire un graphique de la fonction périodique sur laquelle vous travaillez.
  • L'examen final portera sur la matière que nous avons vue dans les chapitres 5 à 8 inclusivement. Relisez, plus bas, les résumés des semaines précédentes pour plus de détails sur ce qui est pertinent pour le final. Je ferai au dernier tp un résumé des sujets importants pour l'examen final. Le devoir, pour les chapitres 5 à 7, constitue une bonne pratique pour l'examen.
  • Bonne chance à l'examen final.
  • Pour ceux que cela intéresse, vous pouvez consultez ce document sur Wikipedia (en anglais, il est plus complet que la version française...) qui porte sur les séries de Fourier, et qui donne des renseignements historiques, les mêmes formules que nous avons vues en classe, avec en prime la version complexe des séries de Fourier.

Cours 12: mercredi le 28 mars 2018  

  • Désolé, je suis absent pour maladie pour le reste de la semaine. Des remplacements sont déjà prévus pour mes activités d'enseignement de la semaine. Fatiha Kacher donnera votre cours mercredi après-midi. Comme je ne suis pas là mardi et mercredi matin pour répondre à vos dernières questions sur le devoir, vous pourrez le remettre au plus tard au début du tp jeudi le 29 mars au lieu du début du cours de mercredi. Chantal Trottier me remplacera au tp jeudi. Si tout va bien je serai de retour la semaine prochaine.
  • Je vous mets plus bas le résumé de ce que j'aurais fait au cours d'aujourd'hui et les exercices à faire. Fatiha devrait voir à peu près ces sujets. S'il y a des différences, je mettrai à jour cette page.
  • Nous avons vu la présentation de base sur les séries de Fourier à la section 8.1 des notes de cours. J'ai fait des rappels sur les notions de fonctions paires et impaires. Dans cette section, assurez-vous de bien comprendre les définitions 1-2-3 et 4, la proposition 4 et le théorème 1 (pages 248 à 251). Le théorème de Fourier, page 252, donne les définitions nécessaires pour le calcul de la série de Fourier d'une fonction périodique. Consultez les exemples aux pages 254 à 258 et lisez bien les remarques aux pages 258 et 259. Dans le texte, le travail est fait plutôt manuellement; le fait d'utiliser votre calculatrice pour entre autres le calcul des intégrales, pourra faciliter grandement les calculs (voir le document inséré après la page 260 des notes de cours). Consultez ce document pour un exemple détaillé avec les détails des calculs faits par Nspire ainsi que le graphe d'une somme partielle pour valider le résultat.
  • J'ai également intégré dans ma présentation le prolongement de fonctions non périodiques (section 8.2) aux pages 260 à 263 des notes de cours. J'ai montré les prolongements pairs ou impairs et en insistant sur le fait qu'à ce moment le calcul des coefficients de Fourier est très simple si on utilise bien la notion de parité dans les intégrales à effectuer.
  • Vous avez vu comment se servir intelligemment de la calculatrice pour résoudre ces problèmes. Pour un exemple détaillé de prolongement pair ainsi que 2 autres exemples de calcul de séries de Fourier, consultez ce fichier Nspire pour voir en détails l'utilisation de votre calculatrice autant pour le calcul des intégrales que pour le tracé des fonctions périodiques et des sommes partielles de Fourier (voici la version PDF de ce fichier). Ce dernier document est intégré aux notes de cours, après les exercices de la section 8.1. Dans la section 8.1, faites les numéros 2-3-4-6-1 et 8 à la page 259. Pour la section 8.2, faites les numéros 1-3-4-5-7 et 8 à la page 262. Pour tous les problèmes de ce chapitre, vous devez produire un graphique de la fonction périodique sur laquelle vous travaillez. Nous avons vu également comment faire avec votre calculatrice le graphe d'une somme partielle de Fourier vous permettant ainsi de voir si votre série représente bien votre fonction périodique initiale.

Travaux pratiques: vendredi le 23 mars 2018  

  • Étant malade, Chantal Trottier m'a remplacé pour ce tp.
  • Elle a remis les mini-tests corrigés, faits vendredi dernier (la moyenne est bonne, 46,4 sur 60). La plupart des erreurs sont dues au manque de pratique. On retrouve d'ailleurs certaines des difficultés rencontrées dans le devoir à faire.
  • Par la suite, Chantal a vu avec vous la notion d'intervalle de convergence d'une série-solution (pages 241 à 243). Elle vous a informé également que l'on ne regardera que des séries centrées en x =0. Cela signifie que vous pouvez enlever les exercices suivants de ceux à faire à la page 245: 1 d) e) g), le numéro 3 et le 3e exercices du document qui suit la page 245.
    Elle a refait au tableau un exemple complet d'exercices du chapitre 7.
  • Elle a, par la suite, répondu à vos questions sur la matière vue à date et sur le devoir à remettre la semaine prochaine.

Cours 11: mercredi le 21 mars 2018  

    J'ai donné la semaine passée le 2e devoir, à remettre en équipes de 2 ou 3 personnes au début du cours la semaine prochaine, soit le 28 mars prochain. J'ai fait quelques remarques sur les difficultés de celui-ci et donné certains conseils.
  • J'ai poursuivi le cours en voyant la section 6.2 sur les circuits électriques (au besoin, relisez le début de la section 3.2 dans le volume 1 des notes de cours). Comme je l'ai mentionné, vous pouvez utiliser la forme générale de l'équation du circuit et obtenir ensuite la solution directement avec votre calculatrice. Faites les 4 problèmes à la fin de cette section.
  • Remarquez que les explications et l'exemple dans la section 6.2 des notes de cours (ancienne version) sont données à l'aide des techniques du chapitre 4 (méthode des coefficients indéterminés) alors qu'en classe j'ai utilisé la commande solved( ) du package Laplace pour obtenir directement la solution. Comme pour la première partie de la session, avec les applications (les problèmes du chapitre 6), vous pourrez utiliser ces commandes pour obtenir directement la solution de l'équation différentielle du mouvement harmonique ou du circuit électrique.
    On a laissé tomber la section 6.3 des notes de cours (certains d'entre vous pourrait y trouver un intérêt...)
  • Dans le chapitre 7, j'ai signalé que nous avions déjà vu dans le chapitre 1, au début de la session, la méthode d'Euler pour la résolution numérique d'une équation différentielle d'ordre 1. Ce sujet est repris au début de la section 7.2 et j'ai refait l'exemple avec la calculatrice pour remontrer l'environnement de résolution numérique d'équation différentielles d'ordre 1 de votre calculatrice. Ensuite on a vu la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 (page 232). Mais votre calculatrice utilise une autre variante de la méthode de Runge-Kutta que celle montrée dans le manuel (et qui n'est pas montrée dans les notes de cours). J'ai ainsi résolu de nouveau l'exemple de la page 229 mais en utilisant cette variante avec votre TI. Nous utiliserons plutôt cette technique de résolution numérique pour la solution d'une équation différentielle d'ordre 2 plongée dans un système d'équations d'ordre 1. J'ai fait un exemple de résolution. Consultez ce document pour des explications et des détails avec un exemple avec TI-Nspire. Le document suivant, qui est dans les notes de cours, à la fin du chapitre 7, offre 3 exercices à faire entre autres à l'aide de cette méthode, avec la TI-Nspire. Le premier de ces exercices est solutionné avec assez de détails pour vous servir d'exemple pour cette technique.
  • Nous avons vu ensuite la résolution à l'aide de série de puissances d'une équation différentielle dans la section 7.3 . J'ai fait l'exemple de la page 236 mais avec des conditions initiales. J'ai fait des rappels sur la notation de sommation (expliqué à la page 238) en expliquant pourquoi il est préférable de résoudre à l'aide de sommations plutôt que l'approche de mes premiers exemples. Tous les exemples que j'ai fait et les exercices à faire auront toujours des conditions initiales (contrairement aux exemples 2 et 3 dans les notes de cours). J'ai finalement fait un autre exemple, similaire à celui de l'exemple 4 des notes de cours (page 240). Je terminerai au tp cette matière en voyant la notion d'intervalle de convergence de la série solution (pages 241 et 242). Je montrerai également ce que l'on doit faire lorsque les conditions initiales ne sont pas en x=0 mais en x=a, avec le changement de variable v=x-a (voir l'exemple en bas de la page 243).
  • Après la page 244, vous avez un (document de 3 pages) montrant en détails toutes les étapes de la résolution par séries d'une équation différentielle, incluant l'aide de la calculatrice pour générer les coefficients de la série-solution à l'aide d'une fonction récursive. Voici un fichier Nspire correspondant à ce document. Le document Nspire peut être lent sur une calculatrice, vaut mieux l'utiliser sur un ordinateur...
    Dans la section 7.3, faites les numéros 1, 2 a), 3 a) b) et c) à la page 245 et les 3 exercices aux pages suivantes.
  • Remarque: dans la version papier des notes de cours, vendue cette session à la COOP, il manque certaines informations dans le chapitre 7. Il s'agit de modificiations faites directement sur le fichier PDF et qui ne se sont pas imprimées. La version PDF elle est correcte et complète. Il manque par exemple dans les exercices de la section 7.3 à la page 245 des conditions initiales pour les exercices 1 e) et g) (ainsi que les réponses correspondantes à la fin). Au besoin, consultez la version électronique des notes de cours.

Cours 10: mercredi le 14 mars 2018  

  • Attention: comme pour la première moitié de la session, vous aurez un mini-test d'environ 40 minutes au début du prochain tp . Donc mini-test, vendredi le 16 mars à 9h00. Le test portera sur la matière vue aux cours 8 et 9, donc les sections 5.1, 5.2 et 5.3 de votre manuel de cours. La section 5.4 sur la convolution et la matière d'aujourd'hui ne seront pas au mini-test. Vous aurez droit à un résumé de 3 feuilles 8 1/2 par 11 aide-mémoire, la table de transformées de Laplace (1 feuille recto-verso) et votre calculatrice.
  • Je reparlé de la convolution vue dans la section 5.4 et j'ai refait un exemple d'utilisation de la formule 5.12 en haut de la page 49.
  • Nous avons, par la suite, vu la section 5.5 portant sur la résolution de systèmes d'équations différentielles en utilisant le contexte de concentration de sel dans 2 réservoirs pour justifier ce type de situation (voir pages 52-53). On utilise les transformées de Laplace et la procédure décrite en haut de la page 54. Je vous ai montré comment résoudre, avec la calculatrice symbolique et la commande Solve( ), le système équivalent dans le domaine s. J'ai indiqué aussi comment saisir le système sous forme matricielle (comme il est indiqué aux pages 55-56) pour le résoudre en se servant de la matrice inverse des coefficients. ATTENTION, il y a une erreur dans la figure 5.15 en haut de la page 56.
  • Vous avez à faire les exercices 5.23 et 5.24 ( page 56).
  • J'ai mentionné que vous avez pu installer, au dernier tp, le programme Laplace sur vos calculatrices (voir texte plus bas, tp du 9 mars).
  • Nous avons vu ensuite, dans le chapitre 6, la section 6.1 sur le mouvement harmonique. J'ai fait en classe la présentation du sujet en utilisant les pages 59 à 80 des notes de cours. On a considéré le mouvement harmonique simple (sans amortissement) avec la notion d'amplitude des oscillations ainsi que les concepts d'angle de phase, de période, de fréquence du mouvement.
    Ensuite, on a vu le mouvement harmonique amorti, avec oscillations donc sous-amorti, ou le cas sur-amorti lorsque le coefficient d'amortissement est assez important pour qu'il n'y ait pas d'oscillations autour du point d'équilibre, et finalement le cas frontière, l'amortissement critique. Vous devriez lire cette sous-section aux pages 67 à 73 puisqu'on y trouve de nombreux exemples illustrant les différentes possibilités. Le tableau à la page 73 résume les différents types possibles d'amortissement. Toutes les équations de ce chapitre peuvent être résolues avec la commande solved( ) du "package Laplace".
    J'ai également présenté le mouvement harmonique avec force extérieure ce qui nous a permis de considérer la notion de réponse transitoire et la notion de régime permanent. J'ai terminé la section en montrant le concept de résonance aux pages 78 à 80.
  • Concernant la résonnance, je vous signale que vous trouverez sur le site de Wikipedia une discussion parlant de résonance (voir également la version anglaise) On y discute du désastre du pont de Tacoma (en 1940) qu'on a longtemps associé à un phénomène de résonance mécanique et qui est maintenant expliqué via la notion d'instabilité aéroélastique. Voici un fichier vidéo sur YouTube qui montre ce cas célèbre. J'ai mentionné également les problèmes en l'an 2000 du Millenium Bridge à Londres, fermé 2 jours seulement après son inauguration (pour ré-ouvrir après presque 2 ans de travaux pour corriger un problème d'oscillation). Consultez Wikipedia pour des renseignements de base sur cet ouvrage. Ce document détaille techniquement la problématique au niveau de la conception, les analyses techniques et les solutions trouvées. J'ai aussi montré cette vidéo tournée en l'an 2000 avant la fermeture du pont. Remarquez le mouvement de la foule vers la 45e seconde du vidéo...
  • Je vous encourage à compléter le cours en lisant toute la section 6.1 des notes de cours.
  • Pour la section sur le mouvement harmonique, faites les exercices 6.1 à 6.7 et le numéro 6.9 aux pages 81-82.
  • J'ai distribué le 2e devoir , à remettre mercredi le 28 mars à 13h30 au 12e cours de la session. Avec la matière vue à date, vous pouvez faire tous les numéros sauf les numéros 7 et 8.

Travaux pratiques: vendredi le 9 mars 2018  

  • J'ai fait au tableau quelques exercices à faire dans la section 5.3 en insistant, pour la résolution d'équations différentielles, sur le fait que vous pouvez obtenir rapidement, avec la commande Solve( ) la solution dans le domaine s (après avoir pris la transformée de Laplace de l'équation) et en vous montrant l'utilisation de la commande Expand( ) pour simplifier la fraction obtenue en des termes plus simples. Je vous rappelle également que vous pouvez consulter les solutions de tous les exercices du chapitre 5. Ce document est disponible comme toutes les solutions des exercices de votre manuel (préparés par Chantal Trottier) en allant dans la section "Documents de référence" de ce site d'aide: http://luciole.ca/gilles/mat265/
  • Je vous ai aussi montré au tp le programme LAPLACE créé par Lars Frederiksen qui est disponible pour vos calculatrices; certains d'entre vous avez déjà ce petit programme installé sur votre calculatrice. Vous avez pu en classe prendre une copie du programme à partir de ma calculatrice.
    Si vous étiez absent, utilisez les directives de ce document; il vous faudra installer le classeur ETS_specfunc dans le répertoire MyLib de votre calculatrice ou de votre logiciel.
    Ce programme permet de calculer la transformée et la transformée inverse (avec au besoin des fonctions de Dirac et des échelons-unités en utilisant la même notation que ce que l'on montre en classe), de résoudre par Laplace des équations d'ordre 1, 2, 3... , de calculer la convolution de 2 fonctions et de résoudre un système d'équations différentielles. J'ai montré quelques exemples d'utilisation du programme.

Cours 9: mercredi le 7 mars 2018  

  • Attention: comme pour la première moitié de la session, vous aurez un mini-test d'environ 40 minutes au début du tp qui suit le cours 10, soit vendredi le 16 mars à 9h00. Le test portera sur la matière vue aux cours 8 et 9, donc les sections 5.1, 5.2 et 5.3 de votre manuel de cours, la section 5.4 et la matière de mardi prochain ne sera pas au mini-test. Vous aurez droit à un résumé de 3 feuilles 8 1/2 par 11 aide-mémoire, la table de transformées de Laplace (1 feuille recto-verso) et votre calculatrice. Comme pour le 1er mini-test, celui-ci comptera pour 5% de la note finale.
  • J'ai fait plusieurs remarques concernant les exercices de la section 5.2 que vous aviez à faire. J'ai fait au tableau l'équivalent du 5.7 a) en réalité j'ai fait la transformée du côté droit de l'équation du numéro 5.10 d), le 5.8 g) et j'ai ainsi parlé de nouveau de complétion de carrés et de la décomposition en fractions partielles ( donc de la commande expand( ) de votre calculatrice). J'ai aussi fait au tableau un autre exemple de résolution d'équations différentielles comme celles du numéro 5.10. Je vous rappelle que vous pouvez vérifier vos solutions avec ce document venant du site général de MAT-265 (section "Documents").
  • Nous avons vu ensuite dans la section 5.3, les fonctions échelon-unité (en anglais, unit-step function ou fonction d'Heaviside parfois notée H(t-a) et la fonction de Dirac (fonction impulsion, impulse function), et j'ai montré plusieurs propriétés concernant les transformées de Laplace, en insistant sur l'utilisation de celles-ci plutôt que sur leur démonstration: les propriétés P13 à P15, ainsi que P21 et P22. J'ai montré également comment travailler avec la fonction échelon-unité pour représenter des fonctions définies par morceaux. J'ai vu comment créer cette fonction sur la TI en utilisant la fonction sign(t) qui vaut 1 si t est positif et -1 si t est négatif:

               
    Cela nous donne l'équivalent de la fonction u(t). Pour obtenir
    , on n'a qu'à demander step(t-a).
    Consultez les pages 32 à 37 de vos notes de cours pour des exemples d'utilisation de la fonction échelon-unité.

  • Aux pages 38 à 41, on a vu la fonction delta de Dirac, ces propriétés et des remarques historiques. Les deux derniers exemples de cette section montrent des équations différentielles où les fonctions échelon-unité et la fonction de Dirac interviennent.
  • J'ai montré comment utiliser efficacement votre calculatrice pour le traitement algébrique d'une partie du problème de l'exemple 5.22 en bas de la page 41. Voici en format PDF les détails de la solution de cet exemple (fait avec Nspire) et voici le fichier *.tns si vous le voulez sur votre ordi ou votre calculatrice. On y voit bien les explications et les opérations faites avec la calculatrice.
  • J'ai vu aux pages 45 et 46 la transformée de Laplace d'une fonction périodique.
  • Nous avons terminé le cours en voyant rapidement le produit de convolution (section 5.4 à la page 47) qui permet (avec votre TI qui calcule l'intégrale) de calculer la transformée inverse d'un produit de deux fonctions dans le domaine s.
  • Pour les exercices de cette semaine, à la fin de la section 5.3, page 44, faites les numéros 5.13 à 5.16 et 5.18. Pour 5.16 vous pouvez en faire seulement 1 sur 2.
    Pour les exercices de la section 5.4, faites les numéros 5.19 a) et b), 5.20 b) et c) à la page 51. Les numéros 5.21 et 5.22 sont optionnels.
  • Les transformées inverses doivent être calculées en utilisant les techniques vues en classe et la table de transformées de Laplace. Vous pouvez bien sûr utiliser votre calculatrice pour le calcul de dérivées, d'intégrales, pour les simplifications algébriques ou pour la décomposition en fractions partielles.
  • Je vous montrerai au tp le programme LAPLACE créé par Lars Frederiksen qui est disponible pour vos calculatrices. Vous pourrez en classe prendre une copie du programme à partir de ma calculatrice. Mais vous pouvez vous-même déjà l'installer sur votre calculatrice si vous avez installé le logiciel sur votre ordinateur. Pour plus de détails, utilisez les directives de ce document.
    Ce programme permet de calculer la transformée et la transformée inverse (avec au besoin des fonctions de Dirac et des échelons-unités en utilisant la même notation que ce que l'on montre en classe), de résoudre par Laplace des équations d'ordre 1, 2, 3... , de calculer la convolution de 2 fonctions et de résoudre un système d'équations différentielles. Comme mentionné en classe, vous pourrez utiliser ces commandes UNIQUEMENT pour vérifier vos réponses. Je vous montrerai au tp des exemples d'utilisation du programme.

Cours 8: mercredi le 28 février 2018  

  • J'ai remis pour consultation, au début du cours, vos examens intra corrigés. Ce fut très bien réussi par certains, moins par d'autres (moyenne de 67%). Pour ceux ayant obtenu une note faible, il faudra plus de travail et d'exercices si vous voulez réussir votre cours. J'ai fait au tableau quelques commentaires sur la correction et les lacunes observées. Si vous étiez absents et que vous voulez consulter votre copie, je les aurai au tp vendredi prochain.
  • N'oubliez pas que, tel que convenu au début de la session (voir texte du cours 1), vous aurez un mini-test au début du tp qui suit le cours 10, soit vendredi le 16 mars, et qui portera sur la matière vue au cours 8 et 9. Comme je l'avais indiqué au début de la session, la documentation permise sera 3 feuilles aide-mémoire 8 1/2 par 11 et votre table de transformées de Laplace. Comme je l'ai mentionné en classe, la calculatrice sera permise au mini-test mais vous devrez indiquer les opérations faites avec elle.
  • Nous avons vu aujourd'hui les notions de base sur les transformées de Laplace, sections 5.1 et 5.2 , pages 1 à 27 du volume 2 des notes de cours. Nous avons vu la définition de base à l'aide d'une intégrale impropre et j'ai rappellé les notions de convergence de ce type d'intégrales. On a constaté avec la calculatrice la nécessité de fournir une borne inférieure à la variable s pour que celle-ci accepte de donner un résultat (autre que "undef") et retourne la valeur de la transformée.
  • Vous trouverez ici, en format PDF, une copie de la table de transformées de Laplace disponible à la fin du cahier de notes de cours et que j'ai distribué en classe. Vous avez intérêt à lire les deux sections du manuel, on y retrouve une grande quantité d'exemples pour vous aider à mieux réussir les exercices à la fin de ces 2 sections.
  • J'ai fait un exemple de résolution d'équation différentielle, semblable à l'exemple en bas de la page 18. On a vu que lorsqu'on a résolu l'équation dans le domaine s, il faut faire l'inverse de la transformée de Laplace pour revenir dans le domaine du temps. Pour les cas simples, il n'y a qu'à lire de droite à gauche la première page de la table de transformées de Laplace. On a vu certaines propriétés de la table, P19 et P20, qui permettent de calculer la transformée de Laplace de fonctions plus complexes. On a vu également la complétion de carrés, en bas de la page 21 avec les exemples aux pages suivantes et la technique de décomposition en fractions partielles (annexe A.3) aux pages 23 à 26 en notant que la commande expand( ) de votre calculatrice permet de simplifier une fraction rationnelle en des termes plus simples (et qui eux seront dans votre table). J'ai ferai au prochain tp des exemples moins directs, dont un semblable à l'exemple 5.17, page 26 et un exemple de résolution d'équation différentielle avec les transformées de Laplace (voir en bas de la page 26).
  • Lisez donc vos notes de cours, pour ces 2 sections afin de compléter le cours d'aujourd'hui. Comme exercices, à la page 14, faites les numéros 5.1a) et c), 5.2 a), 5.3, 5.4 (5.5 optionnel) et , avec la table et les propriétés vues en classe, faites les numéros 5.7 à 5.10 aux pages 29 et30.

Cours 7: mercredi le 21 février 2018  

  • Vous avez fait l'examen de mi-session.
  • Il n'y aura pas de séances de travaux pratiques vendredi prochain (23 février), c'est congé-relâche.
  • On se revoit mercredi prochain (28 février); j'aurai terminé (j'espère) la correction de votre examen pour cette date.
  • Nous commencerons alors le chapitre 5 du volume 2 des notes de cours (voici un lien pour la version PDF). Le volume 2 est également en vente à la COOP pour environ 11$.

Cours 6: mercredi le 14 février 2018  

  • Vous m'avez remis votre devoir aujourd'hui. Si tout va bien, j'aurai terminé la correction lundi prochain (ou, au plus tard, mardi prochain). Vous saurez quand ce sera fait quand vous recevrez un courriel indiquant que votre note est dans SIGNETS.
  • Nous avons revu certaines notions du dernier cours, en particulier la solution homogène et la méthode des coefficients indéterminés. J'ai refait au tableau des exemples illustrant ces notions. J'ai rappellé l'importance d'utiliser le résumé de la page 165 (ou aux pages 138-139) pour trouver rapidement la solution homogène (avec la calculatrice qui trouve les racines de l'équation homogène associée). J'ai également revu l'importance de bien choisir le candidat pour la solution particulière. J'ai mentionné que si on ne choisit pas le bon candidat, on aura une contradiction après substitution dans l'équation différentielle. Nous avons complété ensuite la section 4.5.1 en voyant les exceptions à cette méthode. Assurez-vous de travailler avec le résumé de la procédure des coefficients indéterminés (l'encadré de la page 150) pour déterminer le bon candidat à utiliser. Consultez les exemples aux pages 151 et 152 pour compléter ce que j'ai montré au cours. Faites les exercices suivants à la page 154: le numéro 4.12 déjà donné la semaine dernière, 4.13 où vous n'avez qu'à trouver le bon candidat pour la solution particulière et 4.14 a) à l), faites-en 1 sur 2. N'oubliez pas que vous pouvez utiliser votre calculatrice pour effectuer une bonne part des calculs algébriques nécessaires dans la résolution de ces problèmes, comme je l'ai montré en classe, mais vous devez indiquer les étapes intermédiaires (je pourrais vous demander d'indiquer quelles opérations sont faites avec votre calculatrice...). En particulier, lorsque vous avez déterminé le bon candidat à utiliser, vous pouvez le saisir avec votre TI, en indiquant "y = mon candidat" et vous servir de la commande de dérivation de votre TI pour remettre rapidement ce candidat dans l'équation et obtenir le système d'équations à résoudre pour trouver la solution particulière voulue (voir pages 147-148 et 152). Vous devez m'écrire le système d'équations à résoudre et m'expliquer d'où il vient.
  • Nous avons vu également la méthode de variation des paramètres (section 4.5.2). Assurez-vous d'utiliser la procédure décrite à la page 157 pour obtenir directement le système d'équations à résoudre.
    Faites les exercices suivants à la page 161: 4.15 (1 sur 2), 4.16, 4.17* et 4.19*.
    Vous devez utiliser votre calculatrice pour résoudre le système d'équations obtenu avec cette méthode, en utilisant la commande Solve( ) sur votre TI. Vous pouvez aussi utiliser une approche matricielle pour résoudre le système d'équations. J'ai montré comment le saisir sous forme matricielle sur la TI et comment le résoudre à l'aide de la matrice inverse de la matrice des coefficients du système d'équations (voir pages 160-161).
  • N'oubliez pas que vous pouvez consulter des documents intéressant sur ces pages http://luciole.ca/gilles/mat265/documents.html ou http://luciole.ca/gilles/mat265/calculatrice.html (solutionnaires, fichiers illustrant les techniques du chapitre 4 avec Nspire, etc.)
  • L'examen mi-session, la semaine prochaine, portera sur les sujets vus dans les chapitres 1 à 4 inclusivement lors des 6 premiers cours de la session. Lisez les résumés des semaines précédentes pour valider ce qu'on a vu...
    Vous aurez droit comme documentation à 3 feuilles 81/2 par 11 recto-verso aide-mémoire et votre calculatrice symbolique.
  • Voici un examen de pratique et son solutionnaire. Lisez bien l'avertissement au début du questionnaire de l'examen de pratique et sautez les numéros 9 et 11 (on n'a pas vu cette matière).

Cours 5: mercredi le 7 février 2018  

  • J'ai donné plusieurs indications sur le devoir à faire, en rappellant que j'ai montré au tp comment résoudre plusieurs problèmes similaires. Je vous rappelle également que vous pouvez venir valider vos réponses avec moi pour vous assurer que vous avez bien répondu aux questions. Aux numéros 2 et 3, assurez-vous que les courbes de vos graphes ne commencent qu'à t=0. Le devoir est à remettre au prochain cours.
  • Nous avons ensuite abordé le chapitre 4 qui traite de la résolution des équations linéaires d'ordre n. On travaillera principalement les équations linéaires à coefficients constants d'ordre 2, mais les techniques vues permettront également la résolution pour un ordre supérieur à deux.
  • Nous avons vu les sections 4.1, 4.2, 4.4 et pour 4.5, les pages 142 à 148 incl. J'ai sauté la section 4.3 sur l'existence d'une solution unique (ce qui sera toujours le cas pour nos équations en MAT265). Dans la section 4.4 , utilisez directement les formules du résumé aux pages 138-139 (ou celui de la page 165) et non le cheminement qui démontre d'où viennent ces formules. Vous avez à faire les exercices suivants à la page 140: 4.1 et 4.2 (faites-en 1 sur 2) puis 4.4, 4.5 et 4.6. Les exercices d'enrichissement (4.7 à 4.11) sont réservés pour ceux qui trouvent les autres très simples. Ils sont d'un niveau beaucoup plus élevé et sont optionnels.
  • Pour voir la situation où les racines sont complexes, j'ai présenté l'ensemble des nombres complexes et donné des explications de base sur ceux-ci, en faisant entre autres le lien avec la formule quadratique. Vous pouvez consulter ce document pour les renseignements de base. Cet autre document explore plus en profondeur ces nombres en voyant par exemple l'analogie avec les vecteurs 2-D et les formes polaires ou exponentielles. Pour les besoins du cours de MAT265, le premier document est suffisant.
  • Dans la section 4.5 , on a commencé à voir la méthode des coefficients indéterminés pour trouver une solution particulière d'une équation différentielle. Lisez les pages 142 à 148. Lisez bien ces pages et regardez les exemples faits. J'ai fait tous les calculs de mes exemples (sauf le premier) à l'aide de la calculatrice. Même si on n'a pas complété l'étude de cette méthode, vous pouvez faire les exercices suivants à la page 154: numéros 4.12, 4.13 b) et e) ainsi que 4.14 a), c) et d). Pour les autres équations à la page 154, attendez la matière du prochain cours.
  • Avec la matière vue aujourd'hui, vous pouvez maintenant faire le numéro 7 du devoir. Quoiqu'il soit tentant de ne travailler que votre devoir d'ici le prochain cours, je vous suggère fortement de faire également quelques uns des exercices suggérés cette semaine (surtout ceux de la page 154). Si vous ne le faites pas, vous risquez de trouver le prochain cours, le dernier avant l'examen mi-session, particulièrement imbuvable!!!
  • Pour voir un exemple similaire à celui de la page 152 (ou similaire au dernier exemple fait en classe), consultez sur cette page l'exemple pour la méthode des coefficients indéterminés (en version Nspire, fichier tns, ou en version PDF). Vous verrez alors le détails des opérations à faire et la partie du traitement à faire avec la calculatrice, avec des commentaires expliquant les commandes utilisées.

Cours 4: mercredi le 31 janvier 2018  

  • J'ai remis au début du cours les mini-tests faits vendredi dernier. Pour la majorité, les résultats sont très bons (moyenne de 32.1 sur 40). Pour certains, c'est moins bien réussi et c'est étonnant vu la similitude des questions avec les exercices que vous deviez faire. J'ai rappellé le concept d'équations linéaires d'ordre 2 ou plus vu au chapitre 1. Une équation peut être linéaire même si les coefficients ne sont pas des constantes. Et j'ai expliqué de nouveau la syntaxe à utiliser avec la commande deSolve(...).
  • J'ai par la suite fait au tableau, en détails, le numéro 2.33 b) en rappelant les étapes de la résolution de l'équation de Bernoulli.
  • Nous avons par la suite vu les applications physiques des équations différentielles du 1er ordre (le chapitre 3). Nous avons utilisé la commande "deSolve" pour résoudre les équations différentielles obtenues lors de l'analyse de ces problèmes physiques, quoique souvent ces équations sont très simples à résoudre manuellement.
  • J'ai commencé avec les applications du mouvement rectiligne, dans la section 3.1. J'ai souligné l'importance du référentiel et du diagramme des forces en présence. J'ai fait des remarques sur les systèmes d'unités et sur la différence entre le poids et la masse d'un objet, voir pages 85 à 87. Le référentiel dicte les signes à utiliser pour les forces et vitesses. On a regardé ensemble les exemples et explications aux pages 88 à 92 et j'ai commenté rapidement les exemples 3.4 et 3.5 aux pages 92 à 96. J'ai toujours utilisé la calculatrice pour résoudre directement l'équation différentielle du mouvement (avec la commande deSolve) et ensuite faire les graphes (en adaptant la fenêtre graphique) de la vitesse et la position de l'objet pendant la chute. Faites les exercices 3.1 à 3.9 à la page 96, sauf le numéro 3.4.
  • J'ai poursuivi le cours avec la section 3.2; j'ai présenté les notions des circuits électriques simples avec le vocabulaire de base (pages 98 à 101) et on a considéré, en exemples, une équation pour un circuit R-C et une équation de circuit R-L (pages 101 à 105). On a rapidement vu le concept de "temps de réponse" aux pages 103-104 pour aider à se faire une idée de l'intervalle pertinent pour tracer une solution lorsque la source est constante. Mais avec la commande "Solve" de votre calculatrice, vous pouvez être plus précis que les résultats obtenus avec ces valeurs. Je terminerai cette section au tp vendredi en regardant l'exemple 3.8 à la page 105, où on retrouve une source variable (sinusoïdale) dans un circuit RL. Je montrerai comment, avec votre calculatrice, exprimer une combinaison linéaire de sinus et cosinus de même fréquence en un seul terme sinus ou cosinus mais incluant un angle de phase (voir page 106). L'avantage de cette dernière forme est d'exprimer, entre autres, l'amplitude de la solution trouvée. On verra également dans cet exemple la notion de régime permanent pour ce circuit.
  • Faites les exercices 3.11 à 3.17 de cette section à la page 107.
    Je vous recommande fortement de lire ces deux sections (3.1 et 3.2) des notes de cours pour compléter cette matière vue aujourd'hui. Nous ne verrons pas la section 3.3 quoique vous avez intérêt à lire le début de celle-ci pour vous aider avec le numéro 1 du devoir.
  • J'ai distribué un devoir (compte pour 10% de la note finale) à faire en équipes de 2 ou 3 personnes. Vous avez deux semaines pour le faire; il est à remettre au 6e cours, donc remise mercredi le 14 février. Avec la matière vue à date, vous pouvez faire tous les numéros sauf le numéro 7. Les remarques à venir au prochain tp peuvent aider à faire le numéro 3.
    Vous remettez une copie manuscrite de vos solutions par équipe. Les graphes doivent cependant être produits et imprimés à partir d'un logiciel sur un ordinateur.

Cours 3: mercredi le 24 janvier 2018  

  • N'oubliez pas le mini-test vendredi prochain le 26 janvier au début du tp à 9h00. Vous aurez droit comme documentation à 3 feuilles 81/2 par 11, recto-verso, aide-mémoire et votre calculatrice symbolique. Le mini-test devrait durer environ 30-40 minutes et portera sur la matière vue au cours 1 et 2, donc le chapitre 1 des notes de cours, sans les itérations de Picard, et la section 2.1 du chapitre 2 (voir textes plus bas pour plus de détails). La matière vue aujourd'hui n'est pas incluse pour le mini-test de mardi.
    Je serai disponible à mon bureau jeudi (le 25 janvier) de 11h00 à 12h00. De plus, je serai au nouveau service de Dépanneur mathématique, jeudi de 12h15 à 13h15 au local B-3422 (voir cette page pour l'horaire du Dépanneur).
  • J'ai rappellé la notion d'équation à variables séparables (section 2.1) et j'ai fait l'exercice 2.5 à la page 51. J'ai expliqué de nouveau comment séparer les variables. On résoud ensuite en effectuant deux intégrales. On obtient dans ce cas une solution implicite et on a trouvé la valeur de la constante avec la condition initiale. Le plus dur est de voir ce que représente la courbe solution obtenue. J'ai montré comment utiliser le mode graphique "Modèles d'équation--Conique" pour tracer la solution. J'ai montré également comment utiliser la commande "Complétez le carré" dans le menu algèbre pour obtenir l'équation de l'ellipse.
  • Nous avons continué dans le chapitre 2 à voir certaines techniques de résolution algébrique des équations différentielles d'ordre 1. En particulier, nous avons vu les équations linéaires, l'équation de Bernoulli et l'équation homogène tout en insistant sur le concept de changement de variables (sections 2.2 et 2.4). J'ai insisté sur la reconnaissance de la forme de l'équation différentielle, en la transformant au besoin pour atteindre les formes classiques voulues (séparable, linéaire, Bernoulli ou homogène). On ne verra pas les équations exactes dans ce chapitre (section 2.3). Pour l'équation linéaire, vous utilisez directement la procédure en 2 étapes indiquée dans l'encadré de la page 55. J'ai également vu dans la section 2.2 la désintégration radioactive (pages 59-60) qui est un sujet facile car la solution générale est simple et toujours la même...
  • Pour l'équation homogène, on utilise la procédure donnée en haut de la page 73. Dans l'exemple fait en classe, j'ai insisté sur l'utilisation de la calculatrice autant pour obtenir le résultat du changement de variables, que pour effectuer les intégrales et simplifier la solution obtenue en des formes équivalentes.
  • Pour l'équation de Bernoulli, appliquez les étapes de résolution indiquées dans l'encadré de la page 77.
  • Pour les exercices dans les sections 2.2 faites les numéros 2.11 et 2.12 à la page 61. Attention, au numéro 2.11 on vous demande seulement de vérifier si l'équation est linéaire, vous n'avez pas à la résoudre. Faites également les numéros 2.13 (sauf f)), 2.14 et 2.15 et pour ceux qui n'ont pas de difficultés, considérez les numéros 2.13 f) 2.17, 2.18 et 2.22.
  • Dans la section 2.4, aux pages 78-79, faites les exercices 2.28, 2.29, 2.30, 2.31 a) et 2.33. Après avoir fait tous les autres, vous pouvez aussi regarder les numéros 2.31b) et 2.34 (optionnels). Finalement, pour vous préparer à l'examen intra, vous pourrez essayer les numéros 2.36 et 2.37 à la page 80 (sauf le 2.36 k) et 2.37 a) h) et k)).
    Dans le numéros avec plusieurs équations à résoudre, il est préférable d'en faire 1 sur 2 ou 1 sur 3 et couvrir tous les exercices à faire.
  • Je vous rappelle qu'il faut être prudent dans l'utilisation de la calculatrice lors des examens. Quoique vous pouvez utiliser celle-ci pour le calcul de dérivées et d'intégrales, il faut cependant indiquer les étapes des calculs intermédiaires et montrer,au besoin, les étapes des calculs algébriques.
  • La semaine prochaine, nous travaillerons dans les applications du chapitre 3. Je vous distribuerai un devoir à faire en équipes de 2 à 3 personnes. Vous aurez 2 semaines pour faire ce devoir.

Cours 2: mercredi le 17 janvier 2018  

  • J'ai répondu à certaines questions touchant le cours 1, notamment j'ai parlé du numéro 1.10 de la page 20 où j'ai résolu "manuellement" l'exercice c), tout en effectuant les intégrales avec la calculatrice. Je voulais ainsi m'assurer que vous compreniez bien ce qu'on attend de vous lorsque vous résolvez ce type d'équations. On a également discuter de l'apparition de valeurs absolues (ou pas) dans les résultats d'intégrales et on a discuté du concept de réponses algébriquement équivalentes. Je vous rappelle que la commande Desolve( ), voir page 37, ne peut-être utilisée que pour vérifier la solution et non pour résoudre les équations.
  • Après avoir revu comment produire avec votre calculatrice un champ de pentes, on s'est attardé sur la méthode utilisée pour générer, à partir d'une condition initiale, une courbe (plutôt une liste de points...) estimant numériquement la solution d'une équation différentielle d'ordre 1. On a ainsi abordé dans cette section la méthode d'Euler aux pages 25 à 29. C'est cette méthode que Nspire utilise pour tracer numériquement des solutions avec nos champs de pentes lorsqu'on fournit une ou des conditions initiales avec l'équation différentielle. J'ai expliqué en détails cette méthode et on a regardé l'exemple de la page 27 pour bien comprendre la mécanique de cette méthode. En exercices vous devrez pouvoir produire un tableau comme celui de l'exemple à la page 27. Nous avons vu comment utiliser la TI pour effectuer et afficher le résultat de l'utilisation de cette méthode. Le document suivant explique en détails, aux pages 3 et suivantes, comment utilisez Nspire pour produire ce type de solution numérique.
  • À la section 1.4, pages 31 à 33 j'ai vu brièvement un théorème donnant des condition suffisantes à l'existence d'une solution pour une équation d'ordre 1 avec condition initiale. Mais on a sauté la dernière partie portant sur la méthode des approximations successives de Picard. Donc vous pouvez sauter les pages 33 à 36 sur ce sujet qui permet, sous les hypothèses du théorème précédent de créer une suite convergente de fonctions qui approximent bien, localement, le comportement de la vraie solution. Dans le cas du théorème d'existence, je suis passé assez rapidement en ne donnant qu'un aperçu de son fonctionnement.
  • Pour compléter les exercices déjà donnés dans le chapitre 1, faites les numéros 1.20 à 1.25 à la page 30. Faites également les exercices 1.26, 1.27 et 1.28 à la page 39. On a regardé en classe les numéros 1.32 et 1.33 pour mieux comprendre le théorème d'existence. De plus je vous invite à lire les exemples 1.20 et 1.21 aux pages 36 à 38 pour revoir l'utilisation de la commande deSolve( ) et pour voir un exemple plus en profondeur où Nspire est utilisée pour de nombreux calculs.
  • J'ai présenté ensuite la notion d'équations différentielles d'ordre 1, à variables séparables à la section 2.1 du chapitre 2. On a vu que vous devez, si nécessaire, faire manuellement les manipulations algébriques pour séparer les variables. Cette technique peut souvent produire des solutions implicites plutôt qu'explicites. On a remarqué également que l'utilisation de la calculatrice pour le calcul des intégrales peut conduire à des formes différentes, mais algébriquement équivalentes à une constante près, de solutions. On a aussi revu la loi de refroidissement de Newton déjà abordée au début du chapitre 1, et j'ai fait remarqué que la solution de l'équation de la température, qui est une équation différentielle à variables séparables, est toujours celle donnée à l'équation 2.4 en bas de la page 48. Lisez la section 2.1 (pages 43 à 50) pour compléter ce que j'ai fait.
  • Comme exercices dans le chapitre 2, faites les numéros 2.1, 2.2, et 2.5 à 2.10 aux pages 50 à 52.
  • Comme mentionné au 1er cours, n'oubliez pas le mini-test vendredi le 26 janvier au début du tp à 9h00. Vous aurez droit comme documentation à 3 feuilles 81/2 par 11 recto-verso aide-mémoire et votre calculatrice symbolique. Le mini-test devrait durer environ 30-40 minutes et portera sur la matière vue au cours 1 et 2 (donc le chapitre 1 des notes de cours, sans les itérations de Picard, et la section 2.1 du chapitre 2).
Cours 1: mercredi le 10 janvier 2018  
  • Attention: désolé, exceptionnellement je ne serai pas disponible à mon bureau mardi 16 janvier de 10:30 à midi. Je dois assister à un comité, engagement pris il y a plusieurs mois. Je répondrai cependant au début du cours à vos questions sur la matière et les exercices à faire.
  • En plus de la présentation du cours, j'ai signalé l'importance de pouvoir exécuter plusieurs opérations classiques avec la calculatrice symbolique (TI-Nspire CX CAS), entre autres la résolution des équations et des systèmes d'équations, le tracé de graphiques ainsi que le calcul de dérivées et d'intégrales. Quoique vous sembliez tous familiers avec la calculatrice, je vous souligne que vous pouvez consulter, au besoin, le site Internet de support sur l'utilisation des calculatrices TI.
  • J'ai précisé pour ce qui est de l'évaluation que vous aurez deux devoirs (à faire en équipes de 2 à 3 personnes) comptant chacun pour 10% et deux mini-tests comptant chacun pour 5% de la note finale. Le premier mini-test aura lieu au début du tp qui suit le 3e cours de la session, cela donne vendredi le 26 janvier à 9h00. Vous aurez droit comme documentation aux mini-tests à votre calculatrice et 3 feuilles 81/2 par 11 recto-verso aide-mémoire. Le mini-test devrait durer environ 30 minutes et portera sur la matière vue au cours 1 et 2 (probablement le chapitre 1 des notes de cours).
    Le 2e mini-test sera au début du tp qui suit le cours 10 (vendredi le 16 mars) et portera sur les cours 8 et 9. Pour l'examen intra (21 février), vous aurez droit à ce qui est indiqué au plan de cours pour l'examen final, à savoir 3 feuilles 8 1/2 par 11 recto-verso aide-mémoire et votre calculatrice symbolique (les tables mentionnées ne sont nécessaires que pour l'examen final).
  • J'ai présenté au premier cours les équations différentielles, leur importance en sciences et en génie. Nous avons vu certaines définitions et notions de base, les notions de solution générale et de solution particulière d'une équation différentielle et nous avons résolu certaines équations différentielles, à la main pour des équations directement intégrables, et avec la commande deSolve( ) sur la calculatrice pour valider certaines réponses. Je montrerai de nouveau au tp comment utiliser cette commande pour résoudre des équations semblables à l'équation 1.1 de l'exemple 1 au début des notes de cours et pour l'équation du problème de la température du café.
    J'ai montré comment vérifier qu'une solution explicite ou implicite est solution d'une équation différentielle; dans le cas de solution implicite, je suis revenu sur la notion de dérivation implicite vue en MAT-145 (et en MAT-165 pour ceux qui l'ont fait). J'ai rappellé qu'avec la TI-Nspire, on peut faire une dérivation implicite en utilisant la commande
         impDif(equation,variable indépendante,variable dépendante), c'est l'avant-dernière commande du menu "Analyse" sur votre calculatrice.
  • Nous avons révisé certaines notions de base en mathématiques, par exemple les propriétés des exponentielles et des logarithmes, que l'on retrouve dans le formulaire mathématique à l'annexe A.1 des notes de cours ( ou avec ce lien) et j'ai rappellé certaines notions du calcul différentiel et intégral.
  • ATTENTION: vous pouvez acheter le cahier de mes notes de cours à la COOP. Le document est produit selon le modèle des notes de cours en MAT145. Ce document est également disponible en version PDF.
    En résumé, nous avons vu lors de ce premier cours les sections 1.1 et 1.2 des notes de cours (pages 1 à 19).
  • J'ai terminé le cours en montrant le mode graphique "Équations différentielles" de votre TI et la notion de champ de pentes, pages 21 à 24. Je montrerai de nouveau au tp vendredi prochain comment utiliser cet environnement (vous pouvez également consulter ce document ou celui-ci). Assurez-vous d'avoir votre calculatrice au prochain tp. Pour compléter mon cours, lisez jusqu'à la page 24 du manuel.
    Faites les exercices 1.1 à 1.11 aux pages 9 et 19. Vous pouvez également faire les exercices 1.12 à 1.19 à la page 30.
  • Les solutions des exercices du chapitre 1 sont disponibles sur mon site d'aide en MAT265, dans la section "Documents de référence". Voici un lien direct.


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