• Page Moodle du cours de MAT-265 et page Moodle de votre groupe.
• Séance de cours: le mardi de 13h30 à 17h00 au local D-3009. Travaux pratiques: le vendredi de 9h00 à midi au local D-5008. 
  Je serai disponible à mon bureau (B-2342) le mardi de 10h30 à midi. Si vous avez des questions ou si vous désirez me parler à d'autres horaires, envoyez-moi un courriel.
• Liens et documents importants 
• Évaluations: devoirs et tests 

Mise à jour : 9 avril 2024

Cours 13: mardi 9 avril 2024  

• Comme mentionné au cours la semaine dernière, vous avez jusqu'à vendredi prochain 13h pour remettre le devoir 4. Il sera corrigé d'ici le 16 avril.
  Comme convenu au cours aujourd'hui, je serai disponible à mon bureau (B-2342) mardi prochain de 13h30 à 16h00. Je serai aussi disponible via courriel ou Zoom en préparation pour votre examen final.
• L'examen final est jeudi 18 avril à 13h30. Il portera sur les chapitres 5 à 8 incl. Comme pour l'examen intra, il sera en 2 parties. La partie 1 est à faire sans calculatrice et durera un maximum d'une heure. Vous répondrez sur le questionnaire pour cette partie, comme vous l'avez fait au mini-test. Quand vous avez terminé votre partie 1, vous la remettez et vous pourrez commencer la partie 2 où la calculatrice Nspire est permise et nécessaire (vous répondrez dans un cahier d'examen). La durée totale de l'examen est de 3 heures.
  Consultez les consignes et les directives relatives aux examens finaux avec ce lien.
  La documentation permise, tel qu'indiqué au plan de cours est:
  
  • un résumé personnel de 3 feuilles, recto-verso, 8 1/2 par 11 aide-mémoire
  • la table des règles et formules de dérivation et d'intégration (1 page, format lettre)
  • le formulaire mathématique: algèbre et trigonométrie (2 pages, format lettre)
  • les tables de transformées de Laplace (1 feuille recto-verso) et de  séries de Fourier (1 feuille recto-verso) utilisées pendant l'examen doivent êtrre celles provenant des notes de cours.
  • la calculatrice TI-Nspire CX CAS est permise seulement pour la partie 2 de l'examen final.
• Je souligne qu'il existe un examen final de pratique disponible sur cette page du site Moodle général de MAT265. Il y en a un autre dans la page «Liens importants» du site Moodle de votre groupe. Mais il date d'une époque où l'examen final se faisait au complet avec votre calculatrice.
• J'ai montré les prolongements pairs ou impairs de fonctions non périodiques (section 8.3) aux pages 180 à 186 des notes de cours. J'ai montré les prolongements pairs ou impairs, en insistant sur le fait qu'à ce moment le calcul des coefficients de Fourier est très simple si on utilise bien la notion de parité dans les intégrales à effectuer.  Le plus rapide est d'utiliser le résumé à la page 186. Faites les exercices 8.8 à 8.15 aux pages 186-187. Les réponses à la fin des notes de cours sur ces exercices sont plutôt des solutionnaires détaillés.
• J'ai présenté ensuite la table de séries de Fourier que j'ai distribuée en classe. Dans la section 8.4, à la page 187, j'ai vu la technique pour trouver la série d'une fonction périodique semblable à celles de la table. L'encadré de la page 188 décrit la démarche à effectuer.
• On a fait ensuite les 3 exemples (pages 188 à 191) des notes de cours à l'aide de cette technique. Dans les exemples 8.14 et 8.15, j'ai montré comment adapter le problème à faire pour retrouver essentiellement le même type de fonctions que celles de la table. On a également revu comment utiliser une somme partielle de notre série pour valider la réponse trouvée en traçant le graphe de celle-ci.
  Pour les exercices à la page 192, faites les numéros 8.16 à 8.23, en vous servant de la table,
• J'aurais aimé terminer le cours avec un exemple de résolution d'équation différentielle où le terme de droite est une fonction périodique de la table de série de Fourier, mais j'ai manqué de temps.
  Pour tous les problèmes de ce chapitre, vous devez produire un graphique de la fonction périodique sur laquelle vous travaillez et vous devez savoir y ajouter une somme partielle de la série de Fourier trouvée.
• Bonne chance à l'examen final.

Cours 12: mardi 2 avril 2024  

• Considérant le congé vendredi dernier où l'on a perdu un TP et mon retard dans la matière, et après discussions en classe, je reporte le date de remise du dernier devoir. Vous aurez 3 jours de plus pour le remettre. La remise sera donc, via Moodle, au plus tard vendredi 12 avril à 13h00. Vous pourrez me poser des questions au cours mardi prochain et même au dernier tp, avant la remise du devoir.
• Je suis revenu sur la section 7.2 des notes de cours.
• On a vu la notion d'intervalle de convergence de la série solution (section 7.2.3, pages 123 à 128). J'ai mentionné pendant le cours ce que l'on doit faire lorsque les conditions initiales ne sont pas en x=0 mais en x=a, la série solution sera alors développé en puissance de (x-a) comme c'est indiqué dans le théorème 7.1 à la page 124. Cela nous assure d'avoir avec nos conditions initiales les 2 premiers coefficients de la série solution. On peut remarquer que cet intervalle de convergence peut être déterminer avant même de résoudre l'équation différentielle.
• J'ai mentionné les exemples aux pages 128 à 133, pour voir comment utiliser Nspire pour effectuer une partie des calculs pour vous aider à trouver la formule de récurrence, comment faire calculer les coefficients de la série solution, comment obtenir un polynôme solution de degré n pour estimer la solution. Vous n'avez pas à faire les calculs manuels de la page 130, utilisez plutôt la commande seqGen( ) de Nspire pour générer une liste des coefficents de la série (voir page 132). Voici un fichier Nspire et sa version en PDF pour voir le détail des calculs faits avec Nspire pour l'exemple 7.14 aux pages 130-131.  On a également discuter de la précision des estimés obtenus. En bas de la page 132, vous trouverez en plus des liens précédents, 2 autres liens vers un fichier Nspire et sa version PDF pour illustrer cette utilisation de votre calculatrice avec un autre exemple en plus d'illustrer 2 autres approches pour le calcul des coefficients. 
• J'ai terminé la section en voyant comment résoudre une équation où les conditions initiales ne sont pas en x=0 (voir l'exemple page 134). Dans la section 7.2, à la page 137, faites les numéros 7.6, 7.7 a) b) c) d), et le numéro 7.8.
• Il n'est pas nécessaire de voir les 3 approches sur Nspire pour générer les coefficients d'une série solution (dans la section 7.3). Pour votre groupe, nous travaillerons uniquement avec la commande seqGen( ) de Nspire.
• Pour terminer le chapitre 7, on a regardé l'exemple synthèse à la page 139. On a vu qu'on peut vous demander de résoudre une même équation par la méthode de Runge-Kutta (BS23) et par résolution avec une séries de puissances. On a comparé la précision obtenue pour un estimé numérique en une valeur de x dans l'intervalle de convergence. En préparation de l'examen final, pour le chapitre 7, assurez-vous de pouvoir répondre au numéro 7.10, à la page 149.
• Nous avons vu ensuite la présentation de base sur les séries de Fourier à la section 8.1 des notes de cours. Je suis revenu sur la notion de fonctions périodiques et j'ai montré comment tracer celles-ci à l'aide de la fonction modulo. J'ai fait des rappels sur les notions de fonctions paires et impaires. Dans cette section, assurez-vous de bien comprendre les différents résultats présentés, notamment les notions de parité aux pages 160-161, le théorème 8.1 sur l'intégration sur une période d'une fonction périodique et le prolongement périodique d'une fonction sur Nspire. 
• Dans la section 8.2, à la page 166, on a vu, avec le théorème 8.2, les définitions nécessaires pour le calcul de la série de Fourier d'une fonction périodique ainsi que l'exemple 8.6 à la page 167 pour illustrer le calcul d'une série de Fourier. Au TP vendredi, je ferai un autre exemple de calcul de série de Fourier (exemple 8.8 page 175) et on verra à la page 174, le théorème de Fourier donnant les conditions d'existence de la série de Fourier pour une fonction périodique donnée et indiquant la convergence de cette série.   Voici un fichier Nspire avec les détails de l'exemple 8.7 (page 170) et un autre fichier Nspire pour l'exemple 8.8 (page 175). Nous verrons au prochain cours la section 8.3 sur les prolongements périodiques pairs ou impairs, ce qui vous permettra de faire le numéro 5 du devoir (vous pouvez lire vous-même les pages 180 à 186 et faire ce numéro, matière assez facile). On verra également la section 8.4 sur l'utilisation d'une table de séries de Fourier pour obtenir celle d'une fonction périodique appropriée.
• En terminant cette section, prenez bonne note des 2 propositions à la page 178. Cela pourrait simplifier vos calculs de séries de Fourier. Faites les exercices 8.1 à 8.7 pages 179-180.
• Pour tous les problèmes de ce chapitre, vous devez produire un graphique de la fonction périodique sur laquelle vous travaillez. Nous avons vu également comment faire avec votre calculatrice le graphe d'une somme partielle de Fourier vous permettant ainsi de voir si votre série représente bien votre fonction périodique initiale. Cette étape  de validation est toujours faite dans les exemples des notes de cours.
• Voici des références intéressantes: voici le site de SOS-Math sur les séries de Fourier (intéressant pour l'animation des sommes partielles), celui (en français) du site Interstices, magnifique site à voir pour les notes historiques, la décomposition de Fourier, le combiné Batman-Fourier et les animations de cordes vibrantes. Bien sûr, vous pouvez consultez ce document sur Wikipedia (en anglais, il est plus complet que la version française) qui porte sur les séries de Fourier, et qui donne des renseignements historiques, les mêmes formules que nous avons vues au cours, avec en prime la version complexe des séries de Fourier.

Cours 11: mardi le 26 mars 2024  

• Vous m'avez remis aujourd'hui le devoir 3. Il sera corrigé d'ici une semaine.
• Le 4e et dernier devoir est disponible dans l'onglet «Devoirs et tests». Avec la matière vue aujourd'hui, vous pourrez faire les numéros 1, 2 9partiellement) et 3. Pour les 2 derniers numéro, vous devrez attendre que l'on voit les séries de Fourier au prochain cours.
  J'ai rappellé que vous pouvez vérifier avec moi vos réponses et solutions du devoir.
• J'ai poursuivi le cours en voyant la section 6.2 sur les circuits électriques (au besoin, relisez le début de la section 3.2 dans le volume 1 des notes de cours). Je vous demande de lire la section 6.2 des notes de cours portant sur ce sujet (pages 83 à 90). Les pages 90 et 91 sont optionnelles. Vous avez à faire les exercices 6.10-11-12-13-15-17 aux pages 92 à 94. Les réponses à la fin du manuel sont données avec plusieurs détails et les graphes demandés sont fournis. Si vous désirez voir les commandes appropriées sur Nspire pour faire ces exercices, voici le fichier .tns que j'ai utilisé pour résoudre ceux-ci.
  
• Section optionnelle: consultez ce document pour voir la notion de circuit image et les fonctions de transfert (vieilles notes de cours)
• Dans le chapitre 7, j'ai signalé que nous avions déjà vu dans le chapitre 1, au début de la session, la méthode d'Euler pour la résolution numérique d'une équation différentielle d'ordre 1. Ce sujet est repris au début de la section 7.1 où l'on parle également d'erreurs et de précision de cette méthode. J'ai montré de nouveau comment résoudre l'équation de la page 96 (sous le rappel de la méthode d'Euler) avec le mode graphique «Éq. diff.» et la méthode d'euler, comme on l'avait fait au chapitre 1 au début de la session. J'ai refait cet exemple avec la version Runge-Kutta sur vos calculatrices. J'ai également mentionné rapidement la méthode d'Euler améliorée et la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 (page 98) que vous n'aurez pas à utiliser. De nos jours, on rencontre plus souvent des méthodes à pas adaptatifs, par exemple votre calculatrice utilise, la méthode de Bogacky-Shampine (BS23) (page 101) comme alternative à la méthode d'Euler, Nspire la nomme Runge-Kutta. Dans les pages suivantes, on fait plusieurs exemples de résolution avec votre calculatrice Nspire et on a vu la résolution numérique d'un système d'équations différentielles d'ordre 1 ainsi que la résolution d'une équation d'ordre 2 en la plongeant dans un système d'ordre 1 (pages 107 à 109). On a utilisé Nspire pour résoudre l'équation d'ordre 2 en bas de la page 107. Le document suivant offre 3 exercices à faire (regardez la partie b) de chacun) à l'aide de cette approche, avec Nspire. Le premier de ces exercices est solutionné avec assez de détails pour vous servir d'exemple pour cette technique.
• Pour la section 7.1, faites les exercices 7.3 a), 7.4 a) et 7.5 a) b) à la page 110.
• Nous avons vu ensuite la résolution à l'aide de série de puissances d'une équation différentielle, la section 7.2, page 111 . On a parlé des notions de séries de puissance et du développement en série de Taylor des fonctions classiques, de la série géométrique, de convergence et d'intervalles de convergence. À la page 115, on a vu comment utilisé ce concept de série de puissances pour réoudre une équation différentielle très simple. J'ai fait des rappels sur la notation de sommation (pages 118-119) en expliquant pourquoi il est préférable de résoudre à l'aide de sommations plutôt que l'approche de mes premiers exemples. Tous les exemples que j'ai fait et les exercices à faire auront toujours des conditions initiales. On a vu l'exemple 7.9, à la page 121, où l'on résoud une équation à l'aide d'une série de puissances (résolution algébrique, formule de récurrence, estimé numérique à l'aide d'un polynôme-solution). J'ai utilisé cet exemple pour montrer comment on peut s'aider de la calculatrice pour effectuer plusieurs calculs de cet exemple. Consultez aux pages 128 à 133 les exemples 7.13 et surtout 7.14 pour d'autres exemples d'utilisation de Nspire pour la solution par séries. (Voir 2 points plus bas dans ce résumé, pour des liens vers des fichiers Nspire et PDF). J'ai utilisé la fonction Nspire seqGen( ) pour générer à partir de la formule de récurrence les coefficients de la série solution (voir exemple page 132)
• Je n'ai pas eu le temps de voir la notion d'intervalle de convergence de la série solution (section 7.2.3, pages 123 à 128). Lisez cette section pour vous aider à faire le numéro 2b) du devoir, sinon on y reviendra mardi prochain au cours 12. J'ai mentionné pendant le cours ce que l'on doit faire lorsque les conditions initiales ne sont pas en x=0 mais en x=a, la série solution sera alors développé en puissance de (x-a) comme c'est indiqué dans le théorème 7.1 à la page 124. Cela nous assure d'avoir avec nos conditions initiales les 2 premiers coefficients de la série solution. On peut remarquer que cet intervalle de convergence peut être déterminer avant même de résoudre l'équation différentielle. On n'a pas eu le temps de résoudre au complet des exemples où les conditions initiales ne sont pas en x=0, pages 133 à 137. Comme il n'y a pas de tp vendredi prochain (congé pascal), j'y reviendrai au début du prochain cours.
• Consultez les exemples aux pages 128 à 133, pour voir comment utiliser Nspire pour effectuer une partie des calculs pour vous aider à trouver la formule de récurrence, comment faire calculer les coefficients de la série solution, comment obtenir un polynôme solution de degré n pour estimer la solution. Vous n'avez pas à faire les calculs manuels de la page 130, utilisez plutôt la commande seqGen( ) de Nspire pour générer une liste des coefficents de la série (page 132). Voici un fichier Nspire et sa version en PDF pour voir le détail des calculs faits avec Nspire pour l'exemple 7.14 aux pages 130-131.  On a également discuter de la précision des estimés obtenus. En bas de la page 132, vous trouverez en plus des liens précédents, 2 autres liens vers un fichier Nspire et sa version PDF pour illustrer cette utilisation de votre calculatrice avec un autre exemple en plus d'illustrer 2 autres approches pour le calcul des coefficients. 
• Dans la section 7.2, à la page 137, faites les numéros 7.6, 7.7 b) c), et le numéro 7.8.
• Il n'est pas nécessaire de voir les 3 approches sur Nspire pour générer les coefficients d'une série solution (dans la section 7.3). Pour votre groupe, nous travaillerons uniquement avec la commande seqGen( ) de Nspire.
• En préparation de l'examen final, pour le chapitre 7, assurez-vous de pouvoir répondre au numéro 7.10, à la page 149.

Travaux pratiques: vendredi le 22 mars 2024  

• Vous avez fait aujourd'hui, au début de la séance, le mini-test formatif 2 portant sur les transformées de Laplace. Il vous sera remis corrigé au prochain cours.
• Le 3e devoir de la session est à remettre au plus tard à 13h00 mardi prochain (26 mars) via l'onglet «Devoirs et tests» de votre site Moodle de cours.
• Pour le reste du TP vous avez travaillé les exercices du cours 10, ou vous avez pu me poser des questions sur le devoir 3. Le 4e et dernier devoir sera disponible sur ce site au cours 11 mardi prochain.
• Rappel: les solutionnaires détaillés des chapitres 5 et 6 sont disponibles via l'onglet «Documents» du site Moodle principal du cours de MAT265

Cours 10: mardi le 19 mars 2024  

• Attention rappel: comme pour la première moitié de la session, vous aurez un mini-test formatif de 45 minutes au début du tp qui suit le cours 10, soit vendredi le 22 mars à 09h00. Le test portera sur la matière vue aux cours 8 et 9, donc les sections 5.1, 5.2 et 5.3 de votre manuel de cours; la section 5.4 (convolution) et la matière d'aujourd'hui ne seront pas au mini-test. Vous aurez droit à un résumé de 3 feuilles, recto-verso, 8 1/2 par 11 aide-mémoire , la table de transformées de Laplace (1 feuille recto-verso), le formulaire mathématique algèbre et trigo (1 feuille recto-verso format lettre) et la table des règles et formules de dérivation et d'intégration (1 page, format lettre). Les calculatrices sont interdites. Comme pour le 1er mini-test, celui-ci ne comptera pas pour la note finale.
• Comme mentionné au résumé du TP-9, on a vu vendredi dernier comment installer et utiliser les fonctions de programme ETS_specfunc sur votre calculatrice. On utilisera la fonction solved( ) de ce programme pour résoudre directement les équations différentielles du chapitre 6. Pour le chapitre 5, ce programme ne doit être utiliser que pour vérifier vos réponses, obtenues en résolvant les exercices avec votre table de transformées de Laplace. J'ai mentionné que j'avais fait également au tp, plusieurs exemples des types d'exercices de la section 5.3 en se servant de la table de transformées de Laplace et on a vérifié nos réponses avec les fonctions du programme ETS_specfunc.
• Nous avons, par la suite, vu la section 5.5 portant sur la résolution de systèmes d'équations différentielles en utilisant le contexte de concentration de sel dans 2 réservoirs pour justifier ce type de situation (voir pages 52-53). On utilise les transformées de Laplace et la procédure décrite en haut de la page 54. Je vous ai montré comment résoudre, avec la calculatrice symbolique et la commande Solve( ), le système équivalent dans le domaine s. J'ai indiqué aussi comment saisir le système sous forme matricielle (comme il est indiqué aux pages 55-56) pour le résoudre en se servant de la matrice inverse des coefficients.
• Vous avez à faire les exercices 5.23 et 5.24 (page 56).
• Nous avons vu ensuite, dans le chapitre 6, la section 6.1 sur le mouvement harmonique. J'ai fait en classe la présentation du sujet en utilisant les pages 59 à 62 des notes de cours. On a considéré le mouvement harmonique simple (sans amortissement) avec la notion d'amplitude des oscillations ainsi que les concepts d'angle de phase, de période, de fréquence naturelle du mouvement.
  Ensuite, on a vu le mouvement harmonique amorti, avec oscillations donc sous-amorti, ou le cas sur-amorti lorsque le coefficient d'amortissement est assez important pour qu'il n'y ait pas d'oscillations autour du point d'équilibre, et finalement le cas frontière, l'amortissement critique. Vous devriez lire cette sous-section aux pages 67 à 73 puisqu'on y trouve de nombreux exemples illustrant les différentes possibilités. Le tableau à la page 73 résume les différents types possibles d'amortissement. Toutes les équations de ce chapitre doivent être résolues avec la commande solved( ) du "package Laplace".
  J'ai également présenté le mouvement harmonique avec force extérieure ce qui nous a permis de considérer la notion de réponse transitoire et la notion de régime permanent. J'ai terminé la section en montrant le concept de résonance aux pages 78 à 80.
• Concernant la résonnance, je vous signale que vous trouverez sur le site de Wikipedia une discussion parlant de résonance (voir également la version anglaise) On y discute du désastre du pont de Tacoma (en 1940) qu'on a longtemps associé à un phénomène de résonance mécanique et qui est maintenant expliqué via la notion d'instabilité aéroélastique.
  Voici un fichier vidéo sur YouTube qui montre ce cas célèbre. Voici un autre vidéo montrant ce désastre.
       
  J'ai mentionné également les problèmes en l'an 2000 du Millenium Bridge à Londres, fermé 2 jours seulement après son inauguration (pour ré-ouvrir après presque 2 ans de travaux pour corriger un problème d'oscillation). Consultez Wikipedia pour des renseignements de base sur cet ouvrage. J'ai montré cette vidéo tournée en l'an 2000 avant la fermeture du pont. Remarquez le mouvement de la foule vers la 45e seconde de la vidéo...
• Je vous encourage à compléter le cours en lisant toute la section 6.1 des notes de cours.
• Le fichier Nspire suivant contient plusieurs des exemples vus en classe sur le mouvement harmonique.
• Pour la section sur le mouvement harmonique, faites les exercices 6.1 à 6.9 aux pages 81-82. J'ai mentionné également que vous auriez intérêt à lire les 2 premières pages de la section 6.2 sur les circuits électriques (et relire au besoin le début de la section 3.2 dans le volume 1). Nous verrons ce sujet au prochain cours. Nous verrons également la section 7.1 sur les méthodes numériques et la section 7.3 sur la résolution à l'aide de séries de puissances.
  
• Avec la matière vue aujourd'hui, vous pouvez maintenant faire les numéros 4 et 5 du 3e devoir qui est à remettre, via Moodle, au plus tard à 13h mardi prochain le 26 mars.

Travaux pratiques: vendredi le 15 mars 2024  

• Je vous ai montré au tp le programme LAPLACE, le classeur ETS_specfunc.tns, créé par Lars Frederiksen qui est disponible pour vos calculatrices; certains d'entre vous avez déjà ce petit programme installé sur votre calculatrice. J'ai expliqué comment installer ce classeur Nspire à partir du site web du cours. 
  Si vous étiez absent, utilisez les directives de ce document; il vous faudra installer le classeur ETS_specfunc dans le répertoire MyLib de votre calculatrice ou de votre logiciel.
  Ce programme permet de calculer la transformée et la transformée inverse (avec au besoin des fonctions de Dirac et des échelons-unités en utilisant la même notation que ce que l'on montre en classe), de résoudre par Laplace des équations d'ordre 1, 2, 3... , de calculer la convolution de 2 fonctions et de résoudre un système d'équations différentielles. Ce programme permet de calculer la transformée et la transformée inverse (avec au besoin des fonctions de Dirac et des échelons-unités en utilisant la même notation que ce que l'on montre en classe), de résoudre par Laplace des équations d'ordre 1, 2, 3... , de calculer la convolution de 2 fonctions et de résoudre un système d'équations différentielles. J'ai montré quelques exemples d'utilisation du programme.
• J'ai fait au tableau un exercice de chaque numéro à faire dans la section 5.3 en insistant sur l'utilisation des propriétés de la table et, pour la résolution d'équations différentielles, sur le fait que vous pouvez obtenir rapidement, avec la commande Solve( ) la solution dans le domaine s (après avoir pris la transformée de Laplace de l'équation) et en vous montrant l'utilisation de la commande Expand( ) pour simplifier la fraction obtenue en des termes plus simples. On a aussi validé les réponses obtenus avec le programme LAPLACE.
  Je vous rappelle que vous pouvez consulter les solutions de tous les exercices du chapitre 5. Ce document est disponible comme toutes les solutions des exercices de votre manuel (préparés par Chantal Trottier) en allant dans la section "Documents de référence" de ce site d'aide: http://luciole.ca/gilles/mat265/

Cours 9: mardi le 12 mars 2024  

• J'ai rappelé que j'ai fait en exercices, au dernier tp avant la relâche, des exemples de tous les types de problèmes à effectuer dans les sections 5.1 et 5.2, en indiquant les difficultés classiques.
• Nous avons vu ensuite dans la section 5.3, les fonctions échelon-unité (en anglais, unit-step function ou fonction d'Heaviside parfois notée H(t-a) et la fonction de Dirac (fonction impulsion, impulse function), et j'ai montré plusieurs propriétés concernant les transformées de Laplace, en insistant sur l'utilisation de celles-ci plutôt que sur leur démonstration: les propriétés P13 à P15, ainsi que P21 et P22. J'ai montré également comment travailler avec la fonction échelon-unité pour représenter des fonctions définies par morceaux. J'ai vu comment créer cette fonction sur la TI en utilisant la fonction sign(t) qui vaut 1 si t est positif et -1 si t est négatif:

             
  Cela nous donne l'équivalent de la fonction u(t). Pour obtenir
  , on n'a qu'à demander step(t-a).
  Consultez les pages 32 à 37 de vos notes de cours pour des exemples d'utilisation de la fonction échelon-unité.

• Aux pages 38 à 41, on a vu la fonction delta de Dirac, ces propriétés et des remarques historiques. Les deux derniers exemples de cette section montrent des équations différentielles où les fonctions échelon-unité et la fonction de Dirac interviennent.
• J'ai montré comment utiliser efficacement votre calculatrice pour le traitement algébrique d'une partie du problème de l'exemple 5.22 en bas de la page 41. Voici en format PDF les détails de la solution de cet exemple (fait avec Nspire) et voici le fichier *.tns si vous le voulez sur votre ordi ou votre calculatrice. On y voit bien les explications et les opérations faites avec la calculatrice.
  On a vu également avec l'exemple 5.23 à la page 43 que la calculatrice peut avoir de la difficulté à bien exécuter la décomposition en fractions partielles lorsque l'expression contient une exponentielle en s. Il faut parfois s'y prendre à deux essais pour y parvenir ou il faut resimplifier le résultat obtenu avec la commande expand( ). Parfois, il est préférable d'appliquer la commande expand( ) sans le terme en exponentielle en s.
• Nous avons ensuite vu le produit de convolution (section 5.4 à la page 47) qui permet (avec votre TI qui calcule l'intégrale) de calculer la transformée inverse d'un produit de deux fonctions dans le domaine s. J'ai terminé le cours en présentant rapidement le concept de système d'équations différentielles aux pages 52 et 53. J'y reviendrai au prochain cours, mais vous pouvez déjà consulter l'exemple à la page 54 si vous désirez faire le numéro 4 de devoir (voir lien plus bas).
• Pour les exercices de cette semaine, à la fin de la section 5.3, page 44, faites les numéros 5.13 à 5.16. Pour 5.16 vous pouvez en faire seulement 1 sur 2.
  Pour les exercices de la section 5.4, faites les numéros 5.19 a) et b), 5.20 b) et c) à la page 51.
• Voici le devoir 3, à faire avec les équipes déjà formées et à remettre, via le site Moodle de votre groupe, au plus tard à 13h mardi le 26 mars prochain. Vous devrez attendre le cours 10, la semaine prochaine, pour voir la matière nécessaire pour faire les numéros 4 et 5.
• Les transformées inverses doivent être calculées en utilisant les techniques vues en classe et la table de transformées de Laplace. Vous devez indiquer les numéros de formules de la table que vous utilisez, comme je le fais au tableau en classe.
• Je vous montrerai au tp le programme LAPLACE créé par Lars Frederiksen qui est disponible pour vos calculatrices. Mais vous pouvez vous-même déjà l'installer sur votre calculatrice si vous avez installé le logiciel sur votre ordinateur (on peut aussi le transférer d'une calculatrice où il est déjà installé). Pour plus de détails, utilisez les directives de ce document.
  Comme mentionné en classe, vous pourrez utiliser ces commandes UNIQUEMENT pour vérifier vos réponses. Je vous montrerai au tp des exemples d'utilisation du programme.

Cours 8: mardi le 27 février 2024  

• J'ai remis pour consultation vos copies d'examens intra corrigées. Ce fut très bien réussi par certains, moins par d'autres (moyenne de 66%, moyenne de 71% en enlevant les 3 étudiants en bas de 10%). 17 personnes ont 80% ou plus, mais 10 personnes ont 50% ou moins. Ces derniers résultats sont étonnants considérant la proximité des problèmes de l'examen avec ceux que vous aviez à faire en exercices, ainsi que ceux des devoirs, du mini-test et de l'examen de pratique. Pour ceux ayant obtenu une note faible, il faudra plus de travail et d'exercices si vous voulez réussir votre cours. Je vous rappelle qu'il y a un double seuil pour ce cours. Vouis devez avoir au moins 50% de moyenne pour l'examen intra et l'examen final. 
• N'oubliez pas que, tel que convenu au début de la session (voir texte du cours 1), vous aurez un mini-test au début du tp qui suit le cours 10, soit vendredi le 22 mars, et qui portera sur la matière vue au cours 8 et 9. La documentation sera la même qu'au mini-test 1 avec l'ajout de la table de transformées de Laplace. La calculatrice sera interdite pour le mini-test. Vous aurez également à faire 2 devoirs à remettre aux cours 11 et 13. Vous aurez pour chacun 2 semaines pour le faire avec les mêmes équipes que les 2 premiers devoirs.
• Nous avons vu aujourd'hui les notions de base sur les transformées de Laplace, sections 5.1 et 5.2 , pages 1 à 27 du volume 2 des notes de cours. Nous avons vu la définition de base à l'aide d'une intégrale impropre et j'ai rappellé les notions de convergence de ce type d'intégrales. On a constaté avec la calculatrice la nécessité de fournir une borne inférieure à la variable s pour que celle-ci accepte de donner un résultat (autre que "undef") et retourne la valeur de la transformée.
• Vous trouverez ici, en format PDF, une copie de la table de transformées de Laplace disponible à la fin du cahier de notes de cours. J'en ai distribué une copie papier en classe. Vous devriez l'avoir toujours avec vous pour les exercices des prochaines semaines.
  Vous avez intérêt à lire les deux sections du manuel vues aujourd'hui, on y retrouve une grande quantité d'exemples pour vous aider à mieux réussir les exercices à la fin de ces 2 sections. Regardez les exemples d'utilisations plutôt que les démonstrations de propriétés ou de théorèmes. J'ai fait au tableau de nombreux exemples similaires à ceux du manuel, en insistant sur les détails à fournir dans les solutions. J'ai également toujours indiqué les numéros de formules utilisés de la table de transformées de Laplace.
• J'ai fait un exemple de résolution d'équation différentielle, semblable à l'exemple en bas de la page 18. On a vu que lorsqu'on a résolu l'équation dans le domaine s, il faut faire l'inverse de la transformée de Laplace pour revenir dans le domaine du temps. Pour les cas simples, il n'y a qu'à lire de droite à gauche la première page de la table de transformées de Laplace. On a vu certaines propriétés de la table, P19 et P20, qui permettent de calculer la transformée de Laplace de fonctions plus complexes. On a vu également la complétion de carrés, en bas de la page 21 avec un exemple semblables à ceux des pages 22 et 23. On a utilisé la commande expand( ) de votre calculatrice pour simplifier des fractions rationnelles en des termes plus simples. Je reparlerai au prochain tp, vendredi le 1er mars, de cette technique de décomposition en fractions partielles (annexe A.3) avec les exemples des pages 25 et 26 (l'objectif étant de trouver des termes plus simples qui sont dans la table de transformées de Laplace). Je ferai au prochain tp des exemples moins directs, dont un semblable à l'exemple 5.17, page 26 et un exemple de résolution d'équation différentielle avec les transformées de Laplace (voir en bas de la page 26).
• Lisez donc vos notes de cours, pour ces 2 sections afin de compléter le cours d'aujourd'hui. Comme exercices, en vous servant de la table et des propriétés vues en classe, à la page 14, faites les numéros 5.1a) et c), 5.2 a), 5.3, 5.4, 5.5 et faites les numéros 5.7 à 5.10 aux pages 29 et 30. Comme on le voit dans les exemples du manuel, votre calculatrice TI-Nspire peut vous aider à faire une partie des opérations algébriques nécessaires.
• Le package Laplace mentionné à la page 28 ne sera vu qu'au prochain cours. Vous pouvez évidemment déjà l'installer, mais il ne doit servir, pour le moment, qu'à vérifier vos réponses.

Cours 7: mardi 20 février 2024: examen intra  

• Comme indiqué au plan de cours, l'examen intra est en 2 parties. La durée normale totale de l'examen est de 3 heures. La première partie sera sans calculatrice, elle durera au plus 45 minutes et comptera pour 25% de la note. Vous répondrez directement sur le questionnaire, comme vous l'avez fait pour le mini-test 1.
  Quand vous avez fini la première partie, vous la remettez et vous pourrez commencer la partie 2 (75% de la note) avec votre calculatrice TI-Nspire CX CAS.
  La documentation papier permise pour les deux parties de l'examen est:
  • Un résumé personnel de trois feuilles 8 1/2 par 11, recto verso (donc au total 6 pages, format lettre).
  • La table des règles et formules de dérivation et d'intégration (1 page, format lettre).
  • Formulaire mathématique: algèbre et trigonométrie (2 pages, format lettre)
• La calculatrice TI-Nspire CX CAS pour la partie 2 seulement. Aucun autre matériel électronique n'est permis.
• Il n'y a pas de TP après l'examen (vendredi 23 février).
• Nous commencerons au prochain cours, mardi le 27 février, le chapitre 5 du volume 2 des notes de cours (consultez l'onglet «Liens importants»).
• La semaine du 4 mars est la semaine relâche, donc pas de cours ni de tp.

Cours 6: mardi le 13 février 2024  

• ATTENTION: l'examen intra est mardi prochain à 13h30.  Il portera sur les sujets vus dans les chapitres 1 à 4, lors des 6 premiers cours de la session.
  Lisez les résumés des semaines précédentes pour valider ce qu'on a vu... Le groupe sera divisé en 2 pour l'examen, aux locaux D-3009 et D-3008.
  Comme indiqué au plan de cours, l'examen sera en 2 parties. La durée normale totale de l'examen est de 3 heures.
  La première partie sera sans calculatrice, elle durera au plus 45 minutes et comptera pour 25% de la note. Vous répondrez directement sur le questionnaire, comme vous l'avez fait pour le mini-test 1.
  Quand vous avez fini la première partie, vous la remettez et vous pourrez commencer la partie 2 (75% de la note) avec votre calculatrice TI-Nspire CX CAS.
  La documentation papier permise pour les deux parties de l'examen est:
  • Un résumé personnel de trois feuilles 8 1/2 par 11, recto verso (donc au total 6 pages, format lettre).
  • La table des règles et formules de dérivation et d'intégration (1 page, format lettre).
  • Formulaire mathématique: algèbre et trigonométrie (2 pages, format lettre)
  • La calculatrice TI-Nspire CX CAS pour la partie 2 seulement. Aucun autre matériel électronique n'est permis.
• Vous m'avez remis votre devoir aujourd'hui. Je devrais avoir terminé la correction avant l'examen de la semaine prochaine pour que vous puissiez voir vos erreurs (probablement pour le TP vendredi).
• Nous avons revu certaines notions du dernier cours. Au tp vendredi dernier j'ai fait au tableau de nombreux exemples, en particulier pour déterminer la solution homogène et pour le calcul de la solution particulière par la méthode des coefficients indéterminés. J'ai fait un exemple semblable à celui de la page 147 en soulignant les endroits où la calculatrice aide à réduire les calculs et en indiquant quels sont les résultats qui doivent faire partie de votre solution, dans un examen par exemple. J'ai rappellé l'importance d'utiliser le résumé de la page 165 (ou aux pages 138-139) pour trouver rapidement la solution homogène (avec la calculatrice qui trouve les racines de l'équation homogène associée). J'ai également revu l'importance de bien choisir le candidat pour la solution particulière.
• Aujourd'hui, nous avons complété la section 4.5.1 qui porte sur la méthode des coefficients indéterminés en voyant les exceptions à cette méthode. J'ai fait un exemple au tableau, celui de la page 149, pour expliquer la problématique des exceptions losrqu'une même fonction apparait dans la solution homogène et dans le candidat pour la solution particulière. Assurez-vous de travailler directement avec le résumé de la procédure des coefficients indéterminés (l'encadré de la page 150) pour déterminer le bon candidat à utiliser (et non la justification aux pages 149-150). On a regardé ensemble les exemples aux pages 151 et 152 pour compléter ceux faits en classe.
• Faites les exercices suivants à la page 154: le numéro 4.12 déjà donné la semaine dernière, 4.13 où vous n'avez qu'à trouver le bon candidat pour la solution particulière et 4.14 a) à l), faites-en 1 sur 2. N'oubliez pas que vous pouvez utiliser votre calculatrice pour effectuer une bonne part des calculs algébriques nécessaires dans la résolution de ces problèmes, comme je l'ai montré en classe, mais vous devez indiquer les étapes intermédiaires (je pourrais vous demander d'indiquer quelles opérations sont faites avec votre calculatrice...). En particulier, lorsque vous avez déterminé le bon candidat à utiliser, vous pouvez le saisir avec votre TI, en indiquant "y = mon candidat" et vous servir de la commande de dérivation de votre TI pour remettre rapidement ce candidat dans l'équation et obtenir le système d'équations à résoudre pour trouver la solution particulière voulue (voir pages 147-148 et 152). Vous devez m'écrire le système d'équations à résoudre et m'expliquer d'où il vient.
• Nous avons vu également la méthode de variation des paramètres (section 4.5.2) à la page 155 (version février 2024 du volume 1). J'ai fait un exemple complet similaire à celui de l'exemple 4.19. Assurez-vous d'utiliser la procédure décrite à la page 157 pour obtenir directement le système d'équations à résoudre. Compléter ce qu'on a vu en considérant les remarques à la page 158.
  Faites les exercices suivants à la page 161: 4.15 (1 sur 2), 4.16, 4.17* et 4.19*.
  Vous devez utiliser votre calculatrice pour résoudre le système d'équations obtenu avec cette méthode, en utilisant la commande Solve( ) sur votre TI. Vous pouvez aussi utiliser une approche matricielle pour résoudre le système d'équations. J'ai montré comment le saisir sous forme matricielle sur la TI et comment le résoudre à l'aide de la matrice inverse de la matrice des coefficients du système d'équations (voir pages 160-161).
• N'oubliez pas que vous pouvez consulter des documents intéressant sur ces pages http://luciole.ca/gilles/mat265/documents.html ou http://luciole.ca/gilles/mat265/calculatrice.html (solutionnaires, fichiers illustrant les techniques du chapitre 4 avec Nspire, etc.).  Vous trouverez sur cette dernière page le traitement complet, par la méthode de variation des paramètres, de l'exemple 4.18 des notes de cours (en version Nspire, fichier tns, ou en version PDF). Vous verrez alors le détails des opérations à faire et la partie du traitement à faire avec la calculatrice, avec des commentaires expliquant les commandes utilisées.

Cours 5: mardi le 6 février 2024  

• J'ai terminé la correction du devoir 1 pour le tp vendredi dernier, vous avez pu récupérer vos copies sur le site Moodle. J'ai fait quelques commentaires vendredi sur la correction et sur les erreurs à éviter. J'ai aussi mentionné les exemples faits au tp pour compléter le cours de mardi dernier. J'ai donné quelques indications sur le devoir 2. Je vous rappelle que vous pouvez venir valider vos réponses avec moi pour vous assurer que vous avez bien répondu aux questions. Aux numéros 1, 2, 3 et 5, assurez-vous que les courbes de vos graphes ne commencent qu'à t=0. Dans ces 4 numéros, lorsque l'équation différentielle est posée, utilisez la commande deSolve( ) pour obtenir directement la solution. Le devoir est à remettre au plus tard à 13h00 mardi prochain. La matière vue aujourd'hui vous permettra de répondre au numéro 4 du devoir.
• Nous avons ensuite abordé le chapitre 4 qui traite de la résolution des équations linéaires d'ordre n. On travaillera principalement les équations linéaires à coefficients constants d'ordre 2, mais les techniques vues permettront également la résolution pour un ordre supérieur à deux.
• Nous avons vu les sections 4.1, 4.2, 4.4 et pour 4.5, les pages 142 à 148 incl. J'ai pour ainsi dire sauté la section 4.3 sur l'existence d'une solution unique (ce qui sera toujours le cas pour nos équations en MAT265). Dans la section 4.4 , utilisez directement les formules du résumé aux pages 138-139 (ou celui de la page 165) et non le cheminement qui démontre d'où viennent ces formules. Vous avez à faire les exercices suivants à la page 140: 4.1 et 4.2 (faites-en au moins1 sur 2) puis 4.5 et 4.6.
• Pour voir la situation où les racines sont complexes, j'ai présenté l'ensemble des nombres complexes et donné des explications de base sur ceux-ci, en faisant entre autres le lien avec la formule quadratique. Vous pouvez consulter ce document pour les renseignements de base. Cet autre document explore plus en profondeur ces nombres en voyant par exemple l'analogie avec les vecteurs 2-D et les formes polaires ou exponentielles. Pour les besoins du cours de MAT265, le premier document est suffisant. Finalement, ce 3e document disponible aussi sur le site Moodle général  du cours MAT265 explique comment utiliser sa calculatrice Nspire avec les nombres complexes. J'en reparlerai un peu au tp vendredi prochain.
• Dans la section 4.5 , on a commencé à voir la méthode des coefficients indéterminés pour trouver une solution particulière d'une équation différentielle. Lisez les pages 142 à 148. Lisez bien ces pages et regardez les exemples faits. J'ai fait tous les calculs de mes exemples (sauf le premier) à l'aide de la calculatrice. Même si on n'a pas complété l'étude de cette méthode, vous pouvez faire les exercices suivants à la page 154: numéros 4.12, 4.13 b) et e) ainsi que 4.14 a), c) et d). Pour les autres équations à la page 154, attendez la matière du prochain cours.
• Quoiqu'il soit tentant de ne travailler que votre devoir d'ici le prochain cours, je vous suggère fortement de faire également quelques uns des exercices suggérés cette semaine (surtout ceux de la page 154). Si vous ne le faites pas, vous risquez de trouver le prochain cours, le dernier avant l'examen mi-session, particulièrement imbuvable!!!
• Je ferai au tp vendredi prochain 1 ou 2 autres exemples complets comme celui fait à la page 147, avec l'aide de la calculatrice pour la substitution du candidat dans l'équation différentielle. Pour voir un exemple similaire, consultez sur cette page l'exemple pour la méthode des coefficients indéterminés (en version Nspire, fichier tns, ou en version PDF). Vous verrez alors le détails des opérations à faire et la partie du traitement à faire avec la calculatrice, avec des commentaires expliquant les commandes utilisées.

Cours 4: mardi le 30 janvier 2024  

• J'ai remis corrigé le mini-test fait vendredi. J'ai fait au tableau les solutions de celui-ci en soulignant certaines erreurs à éviter. Vous avez remis le devoir 1 via le site Moodle. Il sera corrigé d'ici 1 semaine, je vous enverrai un courriel pour vous prévenir que les copies corrigées sont disponibles sur Moodle. Le devoir 2 est maintenant disponible dans l'onglet «Devoirs et tests». J'ai fait quelques commentaires sur les numéros à faire. Avec le cours d'aujourd'hui, vous pourrez faire tous les numéros sauf le numéro 4. Il est à remettre dans 2 semaines.
• Nous avons par la suite vu les applications physiques des équations différentielles du 1er ordre (le chapitre 3). Nous avons utilisé la commande "deSolve" pour résoudre toutes les équations différentielles obtenues lors de l'analyse de ces problèmes physiques, quoique souvent ces équations sont très simples à résoudre manuellement.
• J'ai commencé avec les applications du mouvement rectiligne, dans la section 3.1. J'ai souligné l'importance du référentiel et du diagramme des forces en présence. J'ai fait des remarques sur les systèmes d'unités et sur la différence entre le poids et la masse d'un objet, voir pages 85 à 87. Le référentiel dicte les signes à utiliser pour les forces et vitesses. On a regardé ensemble les exemples et explications aux pages 88 à 94 et j'ai commenté rapidement l'exemple 3.5 à la page 95. J'ai toujours utilisé la calculatrice pour résoudre directement l'équation différentielle du mouvement (avec la commande deSolve) et ensuite faire les graphes (en adaptant la fenêtre graphique) de la vitesse et la position de l'objet pendant la chute. Faites les exercices 3.1 à 3.9 à la page 96, les numéros 3.4 et 3.5 pourraient vous aider avec le numéro 2 du devoir.
• J'ai poursuivi le cours avec la section 3.2; j'ai présenté les notions des circuits électriques simples avec le vocabulaire de base (pages 98 à 101) et on a considéré, en exemples, une équation pour un circuit R-C et une équation de circuit R-L (pages 101 à 105). On a rapidement vu le concept de "temps de réponse" aux pages 103-104 pour aider à se faire une idée de l'intervalle pertinent pour tracer une solution lorsque la source est constante. Mais avec la commande "Solve" de votre calculatrice, vous pouvez être plus précis que les résultats obtenus avec ces valeurs.
  Je terminerai cette section au TP en voyant l'exemple 3.8 à la page 105, où on retrouve une source variable (sinusoïdale) dans un circuit RL. Je montrerai comment, avec votre calculatrice, exprimer une combinaison linéaire de sinus et cosinus de même fréquence en un seul terme sinus ou cosinus mais incluant un angle de phase et vice-versa(voir page 106). L'avantage de cette dernière forme est d'exprimer, entre autres, l'amplitude de la solution trouvée. On a ainsi vu deux formes différentes pour la solution de ce circuit. Il n'est pas nécessaire de faire la solution "manuelle" de l'équation (comme en haut de la page 106); utilisez deSolve( ) pour résoudre directement celle-ci. On verra dans cet exemple la notion de régime permanent pour ce circuit et la partie transitoire de la solution.
• Faites les exercices 3.11 à 3.17 de cette section à la page 107.
  Je vous recommande fortement de lire ces deux sections (3.1 et 3.2) des notes de cours pour compléter cette matière vue aujourd'hui. Au TP vendredi, je terminerai le chapitre 3 en voyant la notion de problèmes de mélange dans la section 3.3 (page 109-110) et je verrai avec vous l'exemple 3.9. Vous avez intérêt à lire l'exemple 3.10 à la page 110 où les débits d'entrée et de sortie ne sont pas les mêmes, ce qui correspond au numéro 5 du devoir.  Faites les exercices 3.20 à 3.21 de cette section à la page 113.
• Au TP vendredi prochain, je vous laisserai du temps pour travailler le devoir et pour répondre à vos questions. La semaine prochaine, nous verrons dans le chapitre 4 les pages 119 à 148.

Cours 3: mardi le 23 janvier 2024  

• Rappels: n'oubliez pas le mini-test vendredi prochain le 26 janvier à 9h00 (voir détails au cours 2). La matière vue aujourd'hui n'est pas incluse pour le mini-test de vendredi.
  De plus, le devoir 1 est à remettre au plus tard à 13h00 mardi le 30 janvier via ce site Moodle, dans l'onglet «Devoirs et tests»
  Je suis revenu sur la loi de refroidissement de Newton (page 48), que nous avions déjà vue au chapitre 1. J'ai souligné que vous pouviez passé directement à la solution générale (équation 2.4 en bas de la page 48) après avoir posé l'équation différentielle (voir équation 2.3). Comme on le voit aux pages 49 et 50, j'ai montré les différentes façon d'écrire la solution, en regardant les calculs faits avec Nspire.
• Nous avons ensuite continué dans le chapitre 2 à voir certaines techniques de résolution algébrique des équations différentielles d'ordre 1. En particulier, nous avons vu les équations linéaires, l'équation de Bernoulli et l'équation homogène tout en insistant sur le concept de changement de variables (sections 2.2 et 2.4). La section 2.3 sur les équations exactes n'a pas été vue, vous pouvez l'omettre et elle ne sera pas évaluée.
  Pour les techniques de cette semaine, j'ai insisté sur la reconnaissance de la forme de l'équation différentielle, en la transformant au besoin pour atteindre les formes classiques voulues (séparable, linéaire, Bernoulli ou homogène). Pour l'équation linéaire, vous utilisez directement la procédure en 2 étapes indiquée dans l'encadré de la page 55. J'ai mentionné rapidement, dans la section 2.2, la désintégration radioactive (pages 59-60) qui est un sujet facile car la solution générale est simple et toujours la même...
• Pour l'équation homogène, on utilise la procédure donnée en haut de la page 73. Dans l'exemple fait en classe, j'ai montré l'utilisation de la calculatrice autant pour obtenir le résultat du changement de variables, que pour effectuer les intégrales et simplifier la solution obtenue en des formes équivalentes.
• Pour l'équation de Bernoulli, appliquez les étapes de résolution indiquées dans l'encadré de la page 77.
• Pour les exercices dans les sections 2.2 faites le numéro 2.11 à la page 61. Attention, on vous demande ici seulement de vérifier si l'équation est linéaire, vous n'avez pas à la résoudre. Faites également les numéros 2.12 et 2.13 (faites-en au moins 1 sur 2), 2.14, 2.15 et 2.16 et pour ceux qui n'ont pas de difficultés, considérez les numéros 2.17, 2.18 et 2.22 (numéros optionnels plus difficiles).
• Dans la section 2.4, aux pages 78-79, faites les exercices 2.29, 2.30, 2.31 et 2.33. Après avoir fait tous les autres, vous pouvez aussi regarder le numéro 2.34 a) et c)(optionnel). Finalement, pour vous préparer à l'examen intra, vous pourrez faire les numéros 2.36 (sauf f) et k)) et 2.37 b) à f) à la page 80.
  Dans les numéros avec plusieurs équations à résoudre, il est préférable d'en faire 1 sur 2 ou 1 sur 3 et couvrir tous les exercices à faire.
• Je vous rappelle qu'il faut être prudent dans l'utilisation de la calculatrice lors des examens. Quoique vous puissiez utiliser celle-ci pour le calcul de dérivées et d'intégrales, il faut cependant indiquer les étapes des calculs intermédiaires et montrer, au besoin, les étapes des calculs algébriques.
• Au prochain cours, nous travaillerons dans les applications du chapitre 3. Je vous distribuerai le devoir 2.  Vous aurez 2 semaines pour faire ce devoir.

Cours 2: mardi le 16 janvier 2024  

• Je suis revenu sur certaines questions touchant le cours 1 et le tp de vendredi dernier. J'ai également clarifier le type de dérivées ou d'intégrales que vous devez savoir faire manuellement. Vous devez savoir procéder avec la table que pour des situations simples telle une application directe des formules 1 à 5 autant en dérivation qu'en intégration. Une règle simple à suivre: si je fais un directement au tableau une dérivée ou une intégrale, vous devriez aussi pouvoir le faire sans calculatrice à l'aide de votre table au besoin.
• On a discuté en classe de l'exercice 1.7 à la page 20. À la sous-question c), j'ai expliqué les limites de la commande solve( ) de Nspire, quand elle résoud numériquement une équation. On a vu comment faire le graphe de la solution (la position) du problème. J'ai montré l'environnement graphique de votre calculatrice.
• Je vous rappelle que toutes les dates d'évaluations sont déjà saisies dans SIGNETS. Pour les devoirs, les dates indiquées sont celles de la remise de ceux-ci. Pour le devoir 1, l'énoncé sera disponible à compter de vendredi au TP, sur votre site Moodle (dans l'onglet «Devoirs et tests» lisez bien les directives à cet endroit) et sera à remettre (1 copie par équipes) via le site Moodle en 1 fichier PDF au plus tard à 13h00 le 30 janvier. Les équipes définitives pour les devoirs seront également accessible à cet endroit (et dans Signets) mercredi le 17 janvier.
• Vous aurez également un mini-test formatif à la première heure du tp (donc à 9h00) vendredi le 26 janvier. Vous aurez droit comme documentation au mini-test 1 à: 3 feuilles 81/2 par 11 recto-verso aide-mémoire, le formulaire algèbre-trigo et la table avec les formules de dérivation et d'intégration . La calculatrice n'est pas permise aux mini-tests. Le mini-test devrait durer environ 45 minutes et portera sur la matière vue au cours 1 et 2.
• On a continué le cours en voyant, dans la section 1.3, comment produire avec votre calculatrice un champ de pentes (pages 21 à 24). J'ai montré en détails l'utilisation d'une fenêtre graphique en mode Éq. diff. pour produire ces champs de pentes, avec des estimés de solutions pour une ou plusieurs conditions initiales. On s'est ensuite attardé sur la méthode utilisée pour générer, à partir d'une condition initiale, une courbe (plutôt une liste de points...) estimant numériquement la solution d'une équation différentielle d'ordre 1. On a ainsi abordé dans cette section la méthode d'Euler aux pages 25 à 29. C'est cette méthode que Nspire utilise pour tracer numériquement des solutions avec nos champs de pentes lorsqu'on fournit une ou des conditions initiales avec l'équation différentielle. J'ai expliqué en détails cette méthode et on a regardé l'exemple de la page 27 pour bien comprendre la mécanique de cette méthode. On a produit une table de valeurs avec Nspire, dans le mode graphique Éq. diff. et on a vu l'impact de l'augmentation du nombre d'étapes sur la précision du résultat.
• En exercices vous devrez pouvoir produire un tableau comme celui de l'exemple à la page 27. Nous avons vu comment utiliser la TI pour effectuer et afficher le résultat de l'utilisation de cette méthode. Le document suivant explique en détails comment utilisez Nspire pour produire des champs de pentes et ce type de solution numérique. Voici également le fichier Nspire avec les exemples de ce document.
• Pour les exercices de la section 1.3, faites les numéros 1.12 à 1.25 à la page 30
• À la section 1.4, pages 31 à 33, j'ai très rapidement montré un théorème donnant des condition suffisantes à l'existence d'une solution pour une équation d'ordre 1 avec condition initiale. J'ai montré rapidement ce théorème, en expliquant les notions de continuité sur une fonction de 2 variables. Vous pouvez sauter le reste de cette section pages 33 et suivantes. Il n'y aura pas d'exercices sur cette section. Vous pouvez cependant lire l'exemple 1.20 aux pages 36-37 pour voir la syntaxe de la commande DeSolve( ).
• J'ai terminé le cours en présentant la notion d'équations différentielles d'ordre 1, à variables séparables à la section 2.1 du chapitre 2. On a vu que vous devez, si nécessaire, faire manuellement les manipulations algébriques pour séparer les variables. Cette technique peut souvent produire des solutions implicites plutôt qu'explicites. Pour les 2 intégrales à effectuer, si le cas est simple, on l'effectue en utilisant la table, sinon on utilise Nspire pour les faire. Au TP vendredi, je complèterai cette section en voyant d'autres exemples d'équations différentielles séparables et je reviendrai sur la loi de refroidissement de Newton (pages 48 à 50) déjà présentée au chapitre 1. Je ferai remarquer que la solution de l'équation de la température, qui est une équation différentielle à variables séparables, est toujours celle donnée à l'équation 2.4 en bas de la page 48. Lisez la section 2.1 (pages 43 à 50) pour compléter ce que j'ai fait en classe.
• Comme exercices dans le chapitre 2, faites les numéros 2.1, 2.2 et 2.6 à 2.10 aux pages 50 à 52. Voici un lien direct pour le solutionnaire du chapitre 2.

• En plus de la présentation du cours, j'ai signalé l'importance de pouvoir exécuter plusieurs opérations classiques avec la calculatrice symbolique (TI-Nspire CX CAS), entre autres la résolution des équations et des systèmes d'équations, le tracé de graphiques ainsi que le calcul de dérivées et d'intégrales. Je vous souligne que vous pouvez consulter, au besoin, le site Internet de support sur l'utilisation des calculatrices TI. Au tp vendredi prochain, je montrerai à l'aide d'exemple, ces différents sujets avec votre calculatrice Nspire.
• J'ai précisé pour ce qui est de l'évaluation que vous aurez quatre devoirs (à faire en équipes de 2 à 4 personnes) comptant chacun pour 7,5% et deux mini-tests formatifs ne comptant pas pour la note finale. Le premier mini-test aura lieu au début du tp qui suit le 3e cours de la session, cela donne vendredi le 26 janvier lors de la première heure du tp. Vous aurez droit comme documentation au mini-test 1 à: 3 feuilles 81/2 par 11 recto-verso aide-mémoire, le formulaire algèbre-trigo et la table avec les formules de dérivation et d'intégration (les annexes 1 et 2 des notes de cours) . La calculatrice n'est pas permise aux mini-tests. Le mini-test devrait durer environ 45 minutes et portera sur la matière vue au cours 1 et 2 (probablement le chapitre 1 et le début du chapitre 2 des notes de cours).
  Le 2e mini-test sera au début du tp qui suit le cours 10 (vendredi le 22 mars) et portera sur les cours 8 et 9. La documentation permise sera la même qu'au mini-test 1 en y ajoutant la table de transformées de Laplace. Pour l'examen intra (20 février), vous aurez droit à la même documentation qu'au mini-test 1 avec votre calculatrice pour la 2e partie seulement.
• J'ai présenté au au premier cours les équations différentielles et leur importance en sciences et en génie. Nous avons vu certaines définitions et notions de base, les notions de solution générale et de solution particulière d'une équation différentielle et nous avons résolu certaines équations différentielles, à la main pour des équations directement intégrables, et avec la commande deSolve( ) sur la calculatrice pour valider certaines réponses ou pour des équations non directement intégrables.
  La syntaxe pour la commande deSolve de votre TI est
       deSolve(equation différentielle" and cond. initiales",variable indépendante,variable dépendante)
  Cette commande ne peut être utilisé que pour vérifier des réponses ou lorsqu'on vous demande de l'utiliser (chap 3).
• J'ai montré également comment vérifier qu'une solution explicite ou implicite est solution d'une équation différentielle; dans le cas de solution implicite, je suis revenu sur la notion de dérivation implicite vue en MAT-145 (et en MAT-165 pour ceux qui l'ont fait). Au TP, je montrerai qu'avec Nspire, on peut faire une dérivation implicite en utilisant la commande
       impDif(equation,variable indépendante,variable dépendante), c'est l'avant-dernière commande du menu "Analyse" sur votre calculatrice. Je verrai également au TP les détails de l'exemple de la température du café, avec certaines parties résolues manuellement et d'autres avec votre calculatrice Nspire.
• Nous avons aussi révisé certaines notions de base en mathématiques, par exemple les propriétés des exponentielles et des logarithmes, que l'on retrouve dans le formulaire mathématique à l'annexe A.1 des notes de cours ( ou avec ce lien) et j'ai revu certaines notions du calcul différentiel et intégral. Nous utiliserons la table de dérivation et d'intégration pour résoudre des équations directement intégrables.
  En résumé, nous avons vu, lors de ce premier cours, les sections 1.1 et 1.2 des notes de cours.
• Assurez-vous d'avoir votre calculatrice au prochain tp. Pour compléter mon cours, lisez jusqu'à la page 20 du manuel.
  Faites les exercices 1.1 à 1.11 aux pages 9 et 19 sauf les numéros 1.4b), 1.8 et 1.9.
• Les solutions des exercices du chapitre 1 sont disponibles sur mon site d'aide en MAT265, dans la section "Documents de référence". Voici un lien direct.
• Au cours 2, la semaine prochaine, nous ferons la section 1.3 et nous verrons certaines parties de la section 1.4 ainsi que la section 2.1 au complet.