• Page Moodle du cours de MAT-265 et page Moodle de votre groupe.
• Séance de cours: le mercredi de 9h00 à 12h30 au local D-4007. Travaux pratiques: le lundi de 13h30 à 16h30 au local B-1706. 
  Je serai disponible à mon bureau (B-2346) le lundi de 10h30 à midi. Si vous avez des questions ou si vous désirez me parler à d'autres horaires, envoyez-moi un courriel.
• Liens et documents importants 
• Évaluations: devoirs et tests 

Mise à jour : 14 avril 2026

Cours 13: mercredi 15 avril 2026  

• Vous m'avez remis aujourd'hui le devoir 4. Il sera corrigé d'ici vendredi soir et vous pourrez récupérer votre copie via Moodle.
  On a complété la matière à voir pour l'examen final au TP lundi dernier. Le cours aujourd'hui sera plutôt une séance de TP. Je ferai un survol de la matière en prévision de l'examen final.
• L'examen final est samedi 18 avril à 13h30. Il portera sur les chapitres 5 à 8 incl. Comme pour l'examen intra, il sera en 2 parties. La partie 1 est à faire sans calculatrice et durera un maximum d'une heure. Vous répondrez sur le questionnaire pour cette partie, comme vous l'avez fait au mini-test. Quand vous avez terminé votre partie 1, vous la remettez et vous pourrez commencer la partie 2 où la calculatrice Nspire est permise et nécessaire (vous répondrez dans un cahier d'examen). La durée totale de l'examen est de 3 heures.
  Consultez les consignes et les directives relatives aux examens finaux avec ce lien.
  La documentation permise, tel qu'indiqué au plan de cours est:
  
  • un résumé personnel de 3 feuilles, recto-verso, 8 1/2 par 11 aide-mémoire
  • la table des règles et formules de dérivation et d'intégration (1 page, format lettre)
  • le formulaire mathématique: algèbre et trigonométrie (2 pages, format lettre)
  • les tables de transformées de Laplace (1 feuille recto-verso) et de  séries de Fourier (1 feuille recto-verso) utilisées pendant l'examen doivent êtrre celles provenant des notes de cours.
  • la calculatrice TI-Nspire CX CAS est permise seulement pour la partie 2 de l'examen final.
• Je souligne qu'il existe un examen final de pratique disponible sur cette page du site Moodle général de MAT265. Il y en a un autre dans la page «Liens importants» du site Moodle de votre groupe. Mais il date d'une époque où l'examen final se faisait au complet avec votre calculatrice.
• Bonne chance à l'examen final.

Travaux pratiques: lundi le 13 avril 2026  

• Important: comme convenu au cours mercredi dernier, la dernière section de matière (section 8.4) sera vue au TP aujourd'hui plutôt qu'au dernier cours mercredi le 15 avril. Cette dernière séance devient donc une séance de travaux pratiques. Lundi je prendrai environ 90 minutes pour faire cette section et je ferai un TP pour le 90 minutes restants. Cela vous permettra d'être mieux préparer pour l'examen final du 18 avril. Vous pourrez également faire des exercices sur le chapitre 8 et me poser des questions sur le devoir 4 qui est à remettre au plus tard mercredi matin.
• J'ai présenté la table de séries de Fourier que j'ai distribuée en classe. Dans la section 8.4, à la page 187, j'ai vu la technique pour trouver la série d'une fonction périodique semblable à celles de la table. L'encadré de la page 188 décrit la démarche à effectuer.
• On a fait ensuite les 3 exemples (pages 188 à 191) des notes de cours à l'aide de cette technique. Dans les exemples 8.14 et 8.15, j'ai montré comment adapter le problème à faire pour retrouver essentiellement le même type de fonctions que celles de la table. On a également revu comment utiliser une somme partielle de notre série pour valider la réponse trouvée en traçant le graphe de celle-ci.
  Pour les exercices à la page 192, faites les numéros 8.16 à 8.23, en vous servant de la table,
• J'ai terminé le cours en mentionnant un exemple de résolution d'équation différentielle où le terme de droite est une fonction périodique de la table de série de Fourier (voir l'exemple 8.16 à la page 194 de la section 8.5). Ce sujet n'est pas matière pour l'examen final.

Cours 12: mercredi 8 avril 2026  

• Important: comme convenu au cours aujourd'hui, la dernière section de matière (section 8.4) sera vue au TP lundi prochain plutôt qu'au dernier cours mercredi le 15 avril. Cette dernière séance devient donc une séance de travaux pratiques. Lundi je prendrai environ 90 minutes pour faire cette section et je ferai un TP pour le 90 minutes restants. Cela vous permettra d'être mieux préparer pour l'examen final du 18 avril.
• J'ai reparlé au dernier TP de la section 7.3 sur la résolution d'une équation d'ordre 2 à l'aide de séries de puissance. On a également regardé l'exemple 7.16 à la page 139 (on ne voit pas Euler et Runge-Kutta d'ordre 4 pages 139-140), en y ajoutant la résolution à l'aide de Runge-Kutta (BS23). Dans les deux cas, on a vu comment augmenter la précision des résultats estimés. Il n'est pas nécessaire de voir les 3 approches sur Nspire pour générer les coefficients d'une série solution. Pour votre groupe, nous travaillerons uniquement avec la commande seqGen( ) de Nspire (pages 142-143). Vous pouvez laisser tomber les pages 144 à 148 et la section 7.3.3 (page 150)
• En préparation de l'examen final, pour le chapitre 7, assurez-vous de pouvoir répondre au numéro 7.10, à la page 149.
• Nous avons vu ensuite la présentation de base sur les séries de Fourier à la section 8.1 des notes de cours. Je suis revenu sur la notion de fonctions périodiques et j'ai montré comment tracer celles-ci à l'aide de la fonction modulo. J'ai fait des rappels sur les notions de fonctions paires et impaires. Dans cette section, assurez-vous de bien comprendre les différents résultats présentés, notamment les notions de parité aux pages 160-161, le théorème 8.1 sur l'intégration sur une période d'une fonction périodique et le prolongement périodique d'une fonction sur Nspire. 
• Dans la section 8.2, à la page 166, on a vu, avec le théorème 8.2, les définitions nécessaires pour le calcul de la série de Fourier d'une fonction périodique ainsi que l'exemple 8.6 à la page 167 pour illustrer le calcul d'une série de Fourier. On a vu d'autres exemples de calcul de série de Fourier (exemple 8.7 page 170 et exemple 8.8 page 175) et on vu à la page 174, le théorème de Fourier donnant les conditions d'existence de la série de Fourier pour une fonction périodique donnée et indiquant la convergence de cette série.  Voici un fichier Nspire avec les détails de l'exemple 8.7 (page 170) et un autre fichier Nspire pour l'exemple 8.8 (page 175). En terminant cette section, prenez bonne note des 2 propositions à la page 178. Cela pourrait simplifier vos calculs de séries de Fourier. Faites les exercices 8.1 à 8.7 pages 179-180.
• J'ai montré ensuite les prolongements pairs ou impairs de fonctions non périodiques (section 8.3) aux pages 180 à 186 des notes de cours. J'ai montré les prolongements pairs ou impairs, en insistant sur le fait qu'à ce moment le calcul des coefficients de Fourier est très simple si on utilise bien la notion de parité dans les intégrales à effectuer.  Le plus rapide est d'utiliser le résumé à la page 186. Faites les exercices 8.8 à 8.15 aux pages 186-187. Les réponses à la fin des notes de cours sur ces exercices sont plutôt des solutionnaires détaillés.
• Nous verrons au prochain cours la section 8.4 sur l'utilisation d'une table de séries de Fourier pour obtenir celle d'une fonction périodique appropriée. Et j'évoquerai la section 8.5 sur la résolution d'équations différentielles où le terme de droite (la force extérieure) est une fonction périodique.
• Pour tous les problèmes de ce chapitre, vous devez produire un graphique de la fonction périodique sur laquelle vous travaillez. Nous avons vu également comment faire avec votre calculatrice le graphe d'une somme partielle de Fourier vous permettant ainsi de voir si votre série représente bien votre fonction périodique initiale. Cette étape  de validation est toujours faite dans les exemples des notes de cours.
• Voici des références intéressantes: voici le site de SOS-Math (anglais) sur les séries de Fourier (intéressant pour l'animation des sommes partielles), celui (en français) du site Interstices, magnifique site à voir pour les notes historiques, la décomposition de Fourier, le combiné Batman-Fourier et les animations de cordes vibrantes. Bien sûr, vous pouvez consultez ce document sur Wikipedia (en anglais, il est plus complet que la version française) qui porte sur les séries de Fourier, et qui donne des renseignements historiques, les mêmes formules que nous avons vues au cours, avec en prime la version complexe des séries de Fourier.
• N'oubliez pas que le 4e devoir est à remettre au plus tard à 9h mercredi prochain. Avec la matière vue aujourd'hui, vous pouvez maintenant faire les numéros 5 et 6 de ce devoir.

Travaux pratiques: lundi le 30 mars 2026  

• Je suis revenu sur la résolution d'équations différentielles par séries de puissance (section 7.3). J'ai reparlé de l'exemple 7.14 vu à la fin du cours mercredi dernier. J'ai commenté rapidement l'exemple 7.15 (page 134) qui montre le traitement quand les conditions initiales ne sont pas en x = 0 (ce ne sera pas testé à l'examen final).  J'ai terminé en voyant l'exemple 7.16 à la page 139 qui illustre ce que vous devez faire pour les numéros 3 et 4 du devoir 4 en insistant sur l'utilisation de Nspire pour le calcul des coefficients de la série solution et en revoyant la résolution par Runge-Kutta (BS23) de l'équation différentielle. On a commenté la précision des estimés obtenus.
• Pour le reste du TP vous avez travaillé les exercices du cours 11, ou le devoir 4. J'ai vérifié avec plusieurs d'entre vous vos solutions en expliquant les erreurs que je voyais et en donnant des conseils pour vous aider dans vos solutions.

Cours 11: mercredi le 25 mars 2026  

• Vous m'avez remis aujourd'hui le devoir 3. Il sera corrigé pour le TP lundi prochain.
• Le 4e et dernier devoir est disponible dans l'onglet «Devoirs et tests». On a déjà vu la matière pour faire les numéros 1 et 2. Avec la matière vue aujourd'hui, vous pourrez faire les numéros 3 et 4. Pour les 2 derniers numéros, vous devrez attendre que l'on voit les séries de Fourier au prochain cours.
• Dans le chapitre 7, j'ai signalé que nous avions déjà vu dans le chapitre 1, au début de la session, la méthode d'Euler pour la résolution numérique d'une équation différentielle d'ordre 1. Ce sujet est repris au début de la section 7.1 où l'on parle également d'erreurs et de précision de cette méthode. J'ai montré de nouveau comment résoudre l'équation de la page 96 (sous le rappel de la méthode d'Euler) avec le mode graphique «Éq. diff.» et la méthode d'Euler, comme on l'avait fait au chapitre 1 au début de la session. J'ai refait cet exemple avec la version dite Runge-Kutta sur vos calculatrices.  Aux pages 97 à 101, on fait un historique de ces types de méthodes numériques; vous ne vous en servirez pas, donc c'est optionnel.
• De nos jours, on rencontre plus souvent des méthodes à pas adaptatifs, par exemple votre calculatrice utilise, la méthode de Bogacky-Shampine (BS23) (page 101) comme alternative à la méthode d'Euler, Nspire la nomme Runge-Kutta. C'est la seule méthode qu'on vous demandera d'utiliser.
  Dans les pages suivantes (pages 102 à 109), on fait plusieurs exemples de résolution avec votre calculatrice Nspire et on a vu la résolution numérique d'un système d'équations différentielles d'ordre 1 ainsi que la résolution d'une équation d'ordre 2 en la plongeant dans un système d'ordre 1 (pages 107 à 109). On a utilisé Nspire pour résoudre l'équation d'ordre 2 en bas de la page 107. Le document suivant offre 3 exercices à faire (regardez la partie b) de chacun) à l'aide de cette approche, avec Nspire. Le premier de ces exercices est solutionné avec assez de détails pour vous servir d'exemple pour cette technique avec votre calculatrice.
• Pour la section 7.1, faites les exercices 7.3 a), 7.4 a) et 7.5 a) b) et d) à la page 110.
• Nous avons vu ensuite la résolution à l'aide de série de puissances d'une équation différentielle, la section 7.2, page 111 . On a parlé des notions de séries de puissance et du développement en série de Taylor des fonctions classiques, de la série géométrique, de convergence et d'intervalles de convergence. À la page 115, on a vu comment utilisé ce concept de série de puissances pour résoudre une équation différentielle très simple. J'ai fait des rappels sur la notation de sommation (pages 118-119) en expliquant pourquoi il est préférable de résoudre à l'aide de sommations plutôt que l'approche de mon premier exemple. Tous les exemples que j'ai fait et les exercices à faire auront toujours des conditions initiales.
  On a vu l'exemple 7.9, à la page 121, où l'on résoud une équation à l'aide d'une série de puissances (résolution algébrique, formule de récurrence, estimé numérique à l'aide d'un polynôme-solution). J'ai utilisé cet exemple pour montrer comment on peut s'aider de la calculatrice pour effectuer plusieurs calculs de cet exemple. Consultez aux pages 128 à 133 les exemples 7.13 et surtout 7.14 pour d'autres exemples d'utilisation de Nspire pour la solution par séries. (Voir 2 points plus bas dans ce résumé, pour des liens vers des fichiers Nspire et PDF). J'ai utilisé la fonction Nspire seqGen( ) pour générer à partir de la formule de récurrence les coefficients de la série solution (voir exemple page 132)
• On a vu la notion d'intervalle de convergence de la série solution (section 7.2.3, pages 123 à 128). Le théorème à la page 124 nous indique la procédure pour déterminer cet intervalle de convergence. J'ai mentionné pendant le cours ce que l'on doit faire lorsque les conditions initiales ne sont pas en x=0 mais en x=a, la série solution sera alors développé en puissance de (x-a). Cela nous assure de toujours avoir, avec nos conditions initiales, les 2 premiers coefficients de la série solution. On peut remarquer que cet intervalle de convergence peut être déterminer avant même de résoudre l'équation différentielle.
• Je finirai la présentation de cette matière au prochain TP. On ne verra pas comment résoudre une équation où les conditions initiales ne sont pas en x=0, comme l'exemple 7.15 aux pages 134 à 137. Finalement je commenterai l'exemple 7.16 à la page 139.
• Consultez les exemples aux pages 128 à 133, pour voir comment utiliser Nspire pour effectuer une partie des calculs pour vous aider à trouver la formule de récurrence, pour faire calculer les coefficients de la série solution et pour obtenir un polynôme solution de degré (ordre) n pour estimer la solution. Vous n'avez pas à faire les calculs manuels de la page 130, utilisez plutôt la commande seqGen( ) de Nspire pour générer une liste des coefficents de la série (page 132). Voici un fichier Nspire et sa version en PDF pour voir le détail des calculs faits avec Nspire pour l'exemple 7.14 aux pages 130-131.  On a également discuter de la précision des estimés obtenus. En bas de la page 132, vous trouverez en plus des liens précédents, 2 autres liens vers un fichier Nspire et sa version PDF pour illustrer cette utilisation de votre calculatrice avec un autre exemple en plus d'illustrer 2 autres approches pour le calcul des coefficients. 
• Dans la section 7.2, à la page 137, faites les numéros 7.6, 7.7 a), b) c) et d), et le numéro 7.8.
• Il n'est pas nécessaire de voir les 3 approches sur Nspire pour générer les coefficients d'une série solution (dans la section 7.3). Pour votre groupe, nous travaillerons uniquement avec la commande seqGen( ) de Nspire.
• En préparation de l'examen final, pour le chapitre 7, assurez-vous de pouvoir répondre au numéro 7.10, à la page 149.

Travaux pratiques: lundi le 23 mars 2026  

• Vous avez fait aujourd'hui, au début de la séance, le mini-test formatif 2 portant sur les transformées de Laplace. Il vous sera remis corrigé au prochain cours.
• Le 3e devoir de la session est à remettre au plus tard à 9h00 mercredi, (25 mars) via l'onglet «Devoirs et tests» de votre site Moodle de cours.
• Après le mini-test, j'ai fait au tableau la solution de quelques questions du test et j'ai fait un résumé au tableau du chapitre 6. J'ai fait le numéro 6.6 à la page 82. J'ai insisté sur l'utilisation de la commande solved( ) du package Laplace de Nspire pour résoudre l'équation et j'ai utilisé la fonction step(t) pour aider à tracer le graphe de la solution. Pour le reste du TP vous avez travaillé les exercices du cours 10, ou vous avez pu me poser des questions sur le devoir 3. Le 4e et dernier devoir sera disponible sur ce site au cours 11 mercredi.
• Rappel: les solutionnaires détaillés des chapitres 5 et 6 (section 6.1 seulement) sont disponibles via l'onglet «Documents» du site Moodle principal du cours de MAT265

Cours 10: mercredi le 18 mars 2026  

• Attention rappel: comme pour la première moitié de la session, vous aurez un mini-test formatif de 45 minutes au début du tp qui suit le cours 10, soit lundi le 23 mars à 13h30. Le test portera sur la matière vue aux cours 8 et 9, donc les sections 5.1, 5.2 et 5.3 de votre manuel de cours; les section 5.4 (convolution) et 5.5 (les systèmes d'équations) vues au cours 9 et la matière d'aujourd'hui ne seront pas au mini-test. Vous aurez droit à un résumé de 3 feuilles, recto-verso, 8 1/2 par 11 aide-mémoire , la table de transformées de Laplace (1 feuille recto-verso), le formulaire mathématique algèbre et trigo (1 feuille recto-verso format lettre) et la table des règles et formules de dérivation et d'intégration (1 page, format lettre). Les calculatrices sont interdites. Comme pour le 1er mini-test, celui-ci ne comptera pas pour la note finale.
• Comme mentionné au résumé du TP-9, on a vu lundi comment installer et utiliser les fonctions de programme ETS_specfunc sur votre calculatrice. On utilisera la fonction solved( ) de ce programme pour résoudre directement les équations différentielles du chapitre 6. Pour le chapitre 5, ce programme ne doit être utiliser que pour vérifier vos réponses, obtenues en résolvant les exercices avec votre table de transformées de Laplace.
• Nous avons vu ensuite, dans le chapitre 6, la section 6.1 sur le mouvement harmonique. J'ai fait en classe la présentation du sujet en utilisant les pages 59 à 62 des notes de cours. On a considéré le mouvement harmonique simple (sans amortissement) avec la notion d'amplitude des oscillations ainsi que les concepts d'angle de phase, de période, de fréquence naturelle du mouvement.
  Ensuite, on a vu le mouvement harmonique amorti, avec oscillations donc sous-amorti, ou le cas sur-amorti lorsque le coefficient d'amortissement est assez important pour qu'il n'y ait pas d'oscillations autour du point d'équilibre, et finalement le cas frontière, l'amortissement critique. Vous devriez lire cette sous-section aux pages 67 à 73 puisqu'on y trouve de nombreux exemples illustrant les différentes possibilités. Le tableau à la page 73 résume les différents types possibles d'amortissement. Toutes les équations de ce chapitre doivent être résolues avec la commande solved( ) du "package Laplace".
  J'ai également présenté le mouvement harmonique avec force extérieure ce qui nous a permis de considérer la notion de réponse transitoire et la notion de régime permanent. J'ai terminé la section en montrant le concept de résonance aux pages 78 à 80.
• Concernant la résonnance, je vous signale que vous trouverez sur le site de Wikipedia une discussion parlant de résonance (voir également la version anglaise) On y discute du désastre du pont de Tacoma (en 1940) qu'on a longtemps associé à un phénomène de résonance mécanique et qui est maintenant expliqué via la notion d'instabilité aéroélastique.
  Voici un fichier vidéo sur YouTube qui montre ce cas célèbre. Voici un autre vidéo montrant ce désastre.
  J'ai mentionné également les problèmes en l'an 2000 du Millenium Bridge à Londres, fermé 2 jours seulement après son inauguration (pour ré-ouvrir après presque 2 ans de travaux pour corriger un problème d'oscillation). Consultez Wikipedia pour des renseignements de base sur cet ouvrage. J'ai montré cette vidéo tournée en l'an 2000 avant la fermeture du pont. Remarquez le mouvement de la foule vers la 45e seconde de la vidéo...
• Je vous encourage à compléter cette matière lisant toute la section 6.1 des notes de cours.
• Le fichier Nspire suivant contient plusieurs des exemples vus en classe sur le mouvement harmonique.
• Pour la section sur le mouvement harmonique, faites les exercices 6.1 à 6.9 aux pages 81-82.
• J'ai poursuivi le cours en voyant la section 6.2 sur les circuits électriques (au besoin, relisez le début de la section 3.2 dans le volume 1 des notes de cours). Je vous demande de lire la section 6.2 des notes de cours portant sur ce sujet (pages 83 à 90). Les pages 90 et 91 sont optionnelles. Vous avez à faire les exercices 6.10-11-12-13-15-17 aux pages 92 à 94. Les réponses à la fin du manuel sont données avec plusieurs détails et les graphes demandés sont fournis. Si vous désirez voir les commandes appropriées sur Nspire pour faire ces exercices, voici le fichier .tns que j'ai utilisé pour résoudre ceux-ci.
  
• Section optionnelle: consultez ce document pour voir la notion de circuit image et les fonctions de transfert (vieilles notes de cours)
• Au prochain cours, nous verrons la section 7.1 sur les méthodes numériques, la section 7.2 sur la résolution à l'aide de séries de puissances et certaines parties de la section 7.3.
  
• Avec la matière vue aujourd'hui, vous pouvez maintenant faire le numéro 5 du 3e devoir qui est à remettre, via Moodle, au plus tard à 9h mercredi prochain le 25 mars.

Travaux pratiques: lundi le 16 mars 2026  

• Je vous ai montré au tp le programme LAPLACE, le classeur ETS_specfunc.tns, créé par Lars Frederiksen qui est disponible pour vos calculatrices; certains d'entre vous avez déjà ce petit programme installé sur votre calculatrice. J'ai expliqué comment installer ce classeur Nspire à partir du site web du cours MAT265. 
  Si vous étiez absent, utilisez les directives de ce document; il vous faudra installer le classeur ETS_specfunc dans le répertoire MyLib de votre calculatrice ou de votre logiciel.
  Ce programme permet de calculer la transformée et la transformée inverse (avec au besoin des fonctions de Dirac et des échelons-unités en utilisant la même notation que ce que l'on montre en classe), de résoudre par Laplace des équations d'ordre 1, 2, 3... , de calculer la convolution de 2 fonctions et de résoudre un système d'équations différentielles. Ce programme permet de calculer la transformée et la transformée inverse (avec au besoin des fonctions de Dirac et des échelons-unités en utilisant la même notation que ce que l'on montre en classe), de résoudre par Laplace des équations d'ordre 1, 2, 3... , de calculer la convolution de 2 fonctions et de résoudre un système d'équations différentielles. J'ai montré quelques exemples d'utilisation du programme.
• J'ai fait au tableau un exercice de chaque numéro à faire dans la section 5.3 en insistant sur l'utilisation des propriétés de la table et, pour la résolution d'équations différentielles, sur le fait que vous pouvez obtenir rapidement, avec la commande Solve( ) la solution dans le domaine s (après avoir pris la transformée de Laplace de l'équation) et en vous montrant l'utilisation de la commande Expand( ) pour simplifier la fraction obtenue en des termes plus simples. On a aussi validé les réponses obtenus avec le programme LAPLACE. J'ai aussi répondu à vos questions sur le devoir 3.
  Je vous rappelle que vous pouvez consulter les solutions de tous les exercices du chapitre 5.

Cours 9: mercredi le 11 mars 2026 , cours à distance, donné avec Zoom (verglas...) 

• Liens vers des documents du cours Zoom d'aujourd'hui:
  • Enregistrement vidéo du cours (2h35, 618 Mo).
    Attention, pour une utilisation pédagogique par mes étudiants seulement. Ne peut être modifié, distribué ou diffusé en tout ou en partie.
    Propriété exclusive de Gilles Picard.
  • Extrait des notes de cours annotées utilisées dans ce cours et quelques exemples faits au cours (PDF, propriété exclusive de Gilles Picard)
     
• J'ai rappelé que j'ai fait en exercices, au TP lundi, des exemples de tous les types de problèmes à effectuer dans les sections 5.1 et 5.2, en indiquant les difficultés classiques. J'ai aussi montré la décomposition manuelle en fractions partielles comme l'exemple 5.15 à la page 24.
• Nous avons vu ensuite dans la section 5.3, les fonctions échelon-unité (en anglais, unit-step function ou fonction d'Heaviside parfois notée H(t-a) et la fonction de Dirac (fonction impulsion, impulse function), et j'ai montré plusieurs propriétés concernant les transformées de Laplace, en insistant sur l'utilisation de celles-ci plutôt que sur leur démonstration: les propriétés P13 à P15, ainsi que P21 et P22. J'ai montré également comment travailler avec la fonction échelon-unité pour représenter des fonctions définies par morceaux. J'ai vu comment créer cette fonction sur la TI en utilisant la fonction sign(t) qui vaut 1 si t est positif et -1 si t est négatif:

             
  Cela nous donne l'équivalent de la fonction u(t). Pour obtenir
  , on n'a qu'à demander step(t-a).
  Consultez les pages 32 à 37 de vos notes de cours pour des exemples d'utilisation de la fonction échelon-unité.

• Aux pages 38 à 41, on a vu la fonction delta de Dirac, ces propriétés et des remarques historiques. Les deux derniers exemples de cette section montrent des équations différentielles où les fonctions échelon-unité et la fonction de Dirac interviennent.
• J'ai montré comment utiliser efficacement votre calculatrice pour le traitement algébrique d'une partie du problème de l'exemple 5.22 en bas de la page 41. Voici en format PDF les détails de la solution de cet exemple (fait avec Nspire) et voici le fichier *.tns si vous le voulez sur votre ordi ou votre calculatrice. On y voit bien les explications et les opérations faites avec la calculatrice.
  On a vu également avec l'exemple 5.23 à la page 43 que la calculatrice peut avoir de la difficulté à bien exécuter la décomposition en fractions partielles lorsque l'expression contient une exponentielle en s. Il faut parfois s'y prendre à deux essais pour y parvenir ou il faut resimplifier le résultat obtenu avec la commande expand( ). Parfois, il est préférable d'appliquer la commande expand( ) sans le terme en exponentielle en s.
• Nous avons également vu le produit de convolution (section 5.4 à la page 47) qui permet (avec votre TI qui calcule l'intégrale) de calculer la transformée inverse d'un produit de deux fonctions dans le domaine s. J'ai terminé le cours en présentant le concept de système d'équations différentielles aux pages 52 et 53. L'exemple à la page 54, que l'on a fait en classe, est similaire au numéro 4 de devoir (voir lien plus bas).
• Pour les exercices de cette semaine, à la fin de la section 5.3, page 44, faites les numéros 5.13 à 5.16. Pour 5.16 vous pouvez en faire seulement 1 sur 2.
  Pour les exercices de la section 5.4, faites les numéros 5.19 a) et b), 5.20 b) et c) à la page 51. Pour les exercices de la section 5.5, faites les numéros 5.23 (1 sur 2) et 5.24 à la page 56.
  Les transformées inverses doivent être calculées en utilisant les techniques vues en classe et la table de transformées de Laplace. Vous devez indiquer les numéros de formules de la table que vous utilisez, comme je le fais au tableau en classe.
• Voici le devoir 3, à faire avec les équipes déjà formées et à remettre, via le site Moodle de votre groupe, au plus tard à 9h mercredi le 25 mars prochain. Vous devrez attendre le cours 10, la semaine prochaine, pour voir la matière nécessaire pour faire le numéro 5.
• Je vous montrerai au prochain TP le programme LAPLACE créé par Lars Frederiksen qui est disponible pour vos calculatrices. Mais vous pouvez vous-même déjà l'installer sur votre calculatrice si vous avez installé le logiciel sur votre ordinateur (on peut aussi le transférer d'une calculatrice où il est déjà installé). Pour plus de détails, utilisez les directives de ce document.
  Comme mentionné en classe, vous pourrez utiliser ces commandes UNIQUEMENT pour vérifier vos réponses. Je vous montrerai au tp des exemples d'utilisation du programme.

Cours 8: mercredi le 25 février 2026  

• J'ai remis, lundi au TP, pour consultation, vos copies d'examens intra corrigées. Ce fut très bien réussi par certains, moins par plusieurs autres. 11 personnes ont 80% ou plus, mais 14 personnes ont 50% ou moins. Ces derniers résultats sont étonnants considérant la proximité des problèmes de l'examen avec ceux que vous aviez à faire en exercices, ainsi que ceux des devoirs, du mini-test et de l'examen de pratique. Pour ceux ayant obtenu une note faible, il faudra plus de travail et d'exercices si vous voulez réussir votre cours. Je vous rappelle qu'il y a un double seuil pour ce cours. Vous devez avoir au moins 55% de moyenne pour l'examen intra et l'examen final. 
• N'oubliez pas que, tel que convenu au début de la session (voir texte du cours 1), vous aurez un mini-test au début du TP qui suit le cours 10, soit lundi le 23 mars, et qui portera sur la matière vue au cours 8 et 9. La documentation sera la même qu'au mini-test 1 avec l'ajout de la table de transformées de Laplace. La calculatrice sera interdite pour le mini-test. Vous aurez également à faire 2 devoirs, à remettre aux cours 11 et 13. Vous aurez pour chacun 2 semaines pour le faire avec les mêmes équipes que les 2 premiers devoirs.
• Nous avons vu aujourd'hui les notions de base sur les transformées de Laplace, sections 5.1 et 5.2 , pages 1 à 29 du volume 2 des notes de cours. Nous avons vu la définition de base à l'aide d'une intégrale impropre et j'ai rappellé les notions de convergence de ce type d'intégrales. On a constaté avec la calculatrice la nécessité de fournir une borne inférieure à la variable s pour que celle-ci accepte de donner un résultat (autre que "undef") et retourne la valeur de la transformée.
• Vous trouverez ici, en format PDF, une copie de la table de transformées de Laplace disponible à la fin du cahier de notes de cours. J'en ai distribué une copie papier en classe. Vous devriez l'avoir toujours avec vous pour les exercices des prochaines semaines.
  Vous avez intérêt à lire les deux sections du manuel vues aujourd'hui, on y retrouve une grande quantité d'exemples pour vous aider à mieux réussir les exercices à la fin de ces 2 sections. Regardez les exemples d'utilisations plutôt que les démonstrations de propriétés ou de théorèmes. J'ai fait au tableau de nombreux exemples similaires à ceux du manuel, en insistant sur les détails à fournir dans les solutions. J'ai également toujours indiqué les numéros de formules utilisés de la table de transformées de Laplace.
• J'ai fait un exemple de résolution d'équation différentielle, semblable à l'exemple en bas de la page 18. On a vu que lorsqu'on a résolu l'équation dans le domaine s, il faut faire l'inverse de la transformée de Laplace pour revenir dans le domaine du temps. Pour les cas simples, il n'y a qu'à lire de droite à gauche la première page de la table de transformées de Laplace. On a vu certaines propriétés de la table, P19 et P20, qui permettent de calculer la transformée de Laplace de fonctions plus complexes. On a vu également la complétion de carrés, en bas de la page 21 avec un exemple semblables à ceux des pages 22 et 23. On a utilisé la commande expand( ) de votre calculatrice pour simplifier des fractions rationnelles en des termes plus simples. Je reviendrai, au prochain TP, lundi le 9 mars, sur cette technique de décomposition en fractions partielles (annexe A.3) avec les exemples des pages 25 et 26 (l'objectif étant de trouver des termes plus simples qui sont dans la table de transformées de Laplace). Je ferai au prochain TP des exemples moins directs, dont un semblable à l'exemple 5.17, page 26 et un exemple de résolution d'équation différentielle avec les transformées de Laplace (voir en bas de la page 26).
  Malgré la semaine de relâche la semaine prochaine, je vous encourage fortement à faire des exercices avant le prochain TP (le 9 mars) pour mieux vous préparer au cours 9. Vous pouvez maintenant utiliser les propriétés P1 à P11, P16 à P20 et P25 à P30 de votre table de transformées de Laplace.
  Je montrerai aussi au prochain TP la décomposition manuelle en fractions partielles de termes simples avec racines réelles, ce sujet sera surement présent à l'examen final dans la partie sans calculatrice. Consultez les sections 1 et 5 du document suivant.
• Lisez donc vos notes de cours, pour ces 2 sections afin de compléter le cours d'aujourd'hui. Comme exercices, en vous servant de la table et des propriétés vues en classe, à la page 14, faites les numéros 5.1a) et c), 5.2 a), 5.3, 5.4, 5.5 et faites les numéros 5.7 à 5.10 aux pages 29 et 30. Comme on le voit dans les exemples du manuel, votre calculatrice TI-Nspire peut vous aider à faire une partie des opérations algébriques nécessaires. Voici le solutionnaire du chapitre 5
• Le package Laplace mentionné à la page 28 ne sera vu qu'au prochain cours. Vous pouvez évidemment déjà l'installer, mais il ne doit servir, pour le moment, qu'à vérifier vos réponses.
• Au cours 9, le 11 mars, on complètera le chapitre 5 en voyant les sections 5.3, 5.4 et 5.5.

Cours 7: mercredi 18 février 2026: examen intra  

• ATTENTION, locaux pour l'examen intra:
  • Noms de famile de ARANCIBIA à LETENDRE: local E-2021.
  • Noms de famile de MASKALEUT à VOYER: local E-2025.
  • Pour les étudiants ESH, locaux D-4023 ou D-4017 selon les indications de votre horaire.
• Comme indiqué au plan de cours, l'examen intra est en 2 parties. La durée normale totale de l'examen est de 3 heures.
  La première partie sera sans calculatrice, elle durera au plus 45 minutes et comptera pour 25% de la note.
  Vous répondrez directement sur le questionnaire, comme vous l'avez fait pour le mini-test 1.
  Quand vous avez fini la première partie, vous la remettez et vous pourrez commencer la partie 2 (75% de la note) avec votre calculatrice TI-Nspire CX CAS.
  La documentation papier permise pour les deux parties de l'examen est:
  • Un résumé personnel de trois feuilles 8 1/2 par 11, recto verso (donc au total 6 pages, format lettre).
  • La table des règles et formules de dérivation et d'intégration (1 page, format lettre).
  • Formulaire mathématique: algèbre et trigonométrie (2 pages, format lettre)
• La calculatrice TI-Nspire CX CAS pour la partie 2 seulement. Aucun autre matériel électronique n'est permis.
• L'examen corrigé vous sera remis au prochain TP (lundi 23 février). Ce sera le seul sujet du TP. Je ne parlerai pas de l'examen au cours du 25 février.
• Nous commencerons au prochain cours, le chapitre 5 du volume 2 des notes de cours (consultez l'onglet «Liens importants»).
• La semaine du 2 mars est la semaine relâche, donc pas de cours ni de TP.

Cours 6: mercredi le 11 février 2026  

• ATTENTION: l'examen intra est mercredi prochain à 9h00.  Il portera sur les sujets vus dans les chapitres 1 à 4, lors des 6 premiers cours de la session.
  Lisez les résumés des semaines précédentes pour valider ce qu'on a vu...
  Comme indiqué au plan de cours, l'examen sera en 2 parties. La durée normale totale de l'examen est de 3 heures.
  La première partie sera sans calculatrice, elle durera au plus 45 minutes et comptera pour 25% de la note. Vous répondrez directement sur le questionnaire, comme vous l'avez fait pour le mini-test 1.
  Quand vous avez fini la première partie, vous la remettez et vous pourrez commencer la partie 2 (75% de la note) avec votre calculatrice TI-Nspire CX CAS.
  La documentation papier permise (je ne fournis celle-ci) pour les deux parties de l'examen est:
  • Un résumé personnel de trois feuilles 8 1/2 par 11, recto verso (donc au total 6 pages, format lettre).
  • La table des règles et formules de dérivation et d'intégration (1 page, format lettre).
  • Formulaire mathématique: algèbre et trigonométrie (2 pages, format lettre)
  • La calculatrice TI-Nspire CX CAS pour la partie 2 seulement. Aucun autre matériel électronique n'est permis.
• Vous m'avez remis votre devoir aujourd'hui. J'aurai terminé la correction au plus tard lundi prochain pour que vous puissiez voir vos erreurs avant l'examen intra.
• Au tp lundi, j'ai fait au tableau de nombreux exemples, en particulier pour déterminer la solution homogène et pour le calcul de la solution particulière par la méthode des coefficients indéterminés. J'ai fait un exemple semblable à celui de la page 147 en soulignant les endroits où la calculatrice aide à réduire les calculs et en indiquant quels sont les résultats qui doivent faire partie de votre solution, dans un examen par exemple. J'ai rappellé l'importance d'utiliser le résumé de la page 165 (ou aux pages 138-139) pour trouver rapidement la solution homogène (avec la calculatrice qui trouve les racines de l'équation homogène associée). J'ai également revu l'importance de bien choisir le candidat pour la solution particulière.
• Aujourd'hui, nous avons complété la section 4.5.1 qui porte sur la méthode des coefficients indéterminés en voyant les exceptions à cette méthode. J'ai fait un exemple au tableau, celui de la page 149, pour expliquer la problématique des exceptions losrqu'une même fonction apparait dans la solution homogène et dans le candidat pour la solution particulière. Assurez-vous de travailler directement avec le résumé de la procédure des coefficients indéterminés (l'encadré de la page 150) pour déterminer le bon candidat à utiliser (et non la justification aux pages 149-150). On a regardé ensemble les exemples aux pages 151 et 152 pour compléter ceux faits en classe.
• Faites les exercices suivants à la page 154: le numéro 4.12 déjà donné la semaine dernière, 4.13 où vous n'avez qu'à trouver le bon candidat pour la solution particulière et 4.14 a) à l), faites-en 1 sur 2. N'oubliez pas que vous pouvez utiliser votre calculatrice pour effectuer une bonne part des calculs algébriques nécessaires dans la résolution de ces problèmes, comme je l'ai montré en classe, mais vous devez indiquer les étapes intermédiaires (je pourrais vous demander d'indiquer quelles opérations sont faites avec votre calculatrice...). En particulier, lorsque vous avez déterminé le bon candidat à utiliser, vous pouvez le saisir avec votre TI, en indiquant "y = mon candidat" et vous servir de la commande de dérivation de votre TI pour remettre rapidement ce candidat dans l'équation et obtenir le système d'équations à résoudre pour trouver la solution particulière voulue (voir pages 147-148 et 152). Vous devez m'écrire le système d'équations à résoudre et m'expliquer d'où il vient.
• Nous avons vu également la méthode de variation des paramètres (section 4.5.2) à la page 155. J'ai fait l'exemple 4.18 et on a vu l'exemple 4.19 à la page 158. Assurez-vous d'utiliser la procédure décrite à la page 157 pour obtenir directement le système d'équations à résoudre. Compléter ce qu'on a vu en considérant les remarques à la page 158.
  Faites les exercices suivants à la page 161: 4.15 (1 sur 2), 4.16, 4.17* et 4.19*.
  Vous devez utiliser votre calculatrice pour résoudre le système d'équations obtenu avec cette méthode, en utilisant la commande Solve( ) sur votre TI. Vous pouvez aussi utiliser une approche matricielle pour résoudre le système d'équations. J'ai montré comment le saisir sous forme matricielle sur la TI et comment le résoudre à l'aide de la matrice inverse de la matrice des coefficients du système d'équations (voir pages 160-161).
• N'oubliez pas que vous pouvez consulter des documents intéressants sur cette page https://cours.etsmtl.ca/seg/gpicard/Nspire/ (fichiers illustrant les techniques du chapitre 4 avec Nspire, etc.).  Vous trouverez sur cette dernière page le traitement complet, par la méthode de variation des paramètres, de l'exemple 4.18 des notes de cours (en version Nspire, fichier tns, ou en version PDF). Vous verrez alors le détails des opérations à faire et la partie du traitement à faire avec la calculatrice, avec des commentaires expliquant les commandes utilisées.

Cours 5: mercredi le 4 février 2026  

• Au TP lundi, j'ai refait l'exemple 3.8 page 105. J'ai insisté sur l'utilisation de la commande desolve( ) pour résoudre l'équation différentielle posée et non la solution au long comme à la page 106. J'ai également montré la commande tcollect( ) de Nspire pour exprimer une combinaison de sinus et cosinus de même fréquence en 1 seul signal sinusoïdal avec une amplitude et un angle de phase (voir page 106). J'ai montré comment produire un graphe d'une fonction définie par morceaux. J'ai finalement regardé au TP l'exemple de problème de mélanges de la page 109 des notes de cours pour vous aider avec le numéro 5 du devoir 2. Je vous rappelle que vous pouvez venir valider vos réponses avec moi pour vous assurer que vous avez bien répondu aux questions. Aux numéros 1, 2, 3 et 5, assurez-vous que les courbes de vos graphes ne commencent qu'à t=0. Dans ces 4 numéros, lorsque l'équation différentielle est posée, utilisez la commande deSolve( ) pour obtenir directement la solution. Le devoir est à remettre au plus tard à 9h00 AM, mercredi prochain. La matière vue aujourd'hui vous permettra de répondre au numéro 4 du devoir.
• Nous avons abordé le chapitre 4 qui traite de la résolution des équations linéaires d'ordre n. On travaillera principalement les équations linéaires à coefficients constants d'ordre 2, mais les techniques vues permettront également la résolution pour un ordre supérieur à deux.
• Nous avons vu les sections 4.1, 4.2, 4.4 et pour 4.5, les pages 142 à 148 incl. J'ai pour ainsi dire sauté la section 4.3 sur l'existence d'une solution unique (ce qui sera toujours le cas pour nos équations en MAT265). Dans la section 4.4 , utilisez directement les formules du résumé aux pages 138-139 (ou celui de la page 165) et non le cheminement qui démontre d'où viennent ces formules. Vous avez à faire les exercices suivants à la page 140: 4.1 et 4.2 (faites-en au moins1 sur 2) puis 4.5 et 4.6.
• Pour voir la situation où les racines sont complexes, j'ai présenté l'ensemble des nombres complexes et donné des explications de base sur ceux-ci, en faisant entre autres le lien avec la formule quadratique. Vous pouvez consulter ce document pour les renseignements de base. Cet autre document explore plus en profondeur ces nombres en voyant par exemple l'analogie avec les vecteurs 2-D et les formes polaires ou exponentielles. Pour les besoins du cours de MAT265, le premier document est suffisant. Finalement, ce 3e document disponible aussi sur le site Moodle général  du cours MAT265 explique comment utiliser sa calculatrice Nspire avec les nombres complexes.
• Dans la section 4.5 , on a commencé à voir la méthode des coefficients indéterminés pour trouver une solution particulière d'une équation différentielle. Lisez les pages 142 à 148. Lisez bien ces pages et regardez les exemples faits. J'ai fait tous les calculs de mes exemples (sauf le premier) à l'aide de la calculatrice. Même si on n'a pas complété l'étude de cette méthode, vous pouvez faire les exercices suivants à la page 154: numéros 4.12, 4.13 b) et e) ainsi que 4.14 a), c) et d). Pour les autres équations à la page 154, attendez la matière du prochain cours.
• Quoiqu'il soit tentant de ne travailler que votre devoir d'ici le prochain cours, je vous suggère fortement de faire également quelques uns des exercices suggérés cette semaine (surtout ceux de la page 154). Si vous ne le faites pas, vous risquez de trouver le prochain cours, le dernier avant l'examen mi-session, particulièrement imbuvable!!!
• Je ferai au tp mardi prochain 1 ou 2 autres exemples complets comme celui fait à la page 147, avec l'aide de la calculatrice pour la substitution du candidat dans l'équation différentielle. Pour voir un exemple similaire, consultez sur cette page l'exemple pour la méthode des coefficients indéterminés (en version Nspire, fichier tns, ou en version PDF). Vous verrez alors le détails des opérations à faire et la partie du traitement à faire avec la calculatrice, avec des commentaires expliquant les commandes utilisées.

Cours 4: mercredi le 28 janvier 2026  

• J'ai remis le mini-test fait au TP lundi. J'ai fait au tableau les solutions des numéros. C'était des questions faciles, semblables aux exercices que vous aviez à faire.
  Vous avez remis aujourd'hui le devoir 1 via le site Moodle. Il sera corrigé d'ici 1e TP lundi prochain, je vous enverrai un courriel pour vous prévenir quand les copies corrigées seront disponibles sur Moodle. Le devoir 2 est maintenant disponible dans l'onglet «Devoirs et tests». J'ai fait quelques commentaires sur les numéros à faire. Après le cours d'aujourd'hui, vous pourrez faire tous les numéros sauf le numéro 4. Il est à remettre dans 2 semaines.
• Nous avons par la suite vu les applications physiques des équations différentielles du 1er ordre (le chapitre 3). Nous avons utilisé la commande "deSolve" pour résoudre toutes les équations différentielles obtenues lors de l'analyse de ces problèmes physiques, quoique souvent ces équations sont très simples à résoudre manuellement.
• J'ai commencé avec les applications du mouvement rectiligne, dans la section 3.1. J'ai souligné l'importance du référentiel et du diagramme des forces en présence. J'ai fait des remarques sur les systèmes d'unités et sur la différence entre le poids et la masse d'un objet, voir pages 85 à 87. Le référentiel dicte les signes à utiliser pour les forces et vitesses. On a regardé ensemble les exemples et explications aux pages 88 à 94 et j'ai commenté rapidement l'exemple 3.5 à la page 95. J'ai toujours utilisé la calculatrice pour résoudre directement l'équation différentielle du mouvement (avec la commande deSolve) et ensuite faire les graphes (en adaptant la fenêtre graphique) de la vitesse et la position de l'objet pendant la chute. Faites les exercices 3.1 à 3.9 (sauf 3.4) à la page 96, le numéro 3.5 pourrait vous aider avec les numéros 1 et 2 du devoir.
• J'ai poursuivi le cours avec la section 3.2; j'ai présenté les notions des circuits électriques simples avec le vocabulaire de base (pages 98 à 101) et on a considéré, en exemples, une équation pour un circuit R-C et une équation de circuit R-L (pages 101 à 105). On a rapidement vu le concept de "temps de réponse" aux pages 103-104 pour aider à se faire une idée de l'intervalle pertinent pour tracer une solution lorsque la source est constante. Mais avec la commande "Solve" de votre calculatrice, vous pouvez être plus précis que les résultats obtenus avec ces valeurs.
  On a terminé le cours en voyant l'exemple 3.8 à la page 105, où on retrouve une source variable (sinusoïdale) dans un circuit RL. Au TP lundi je montrerai comment, avec votre calculatrice, exprimer une combinaison linéaire de sinus et cosinus de même fréquence en un seul terme sinus ou cosinus mais incluant un angle de phase et vice-versa(voir page 106). L'avantage de cette dernière forme est d'exprimer, entre autres, l'amplitude de la solution trouvée. On verra ainsi deux formes différentes pour la solution de ce circuit. Il n'est pas nécessaire de faire la solution "manuelle" de l'équation (comme en haut de la page 106); utilisez deSolve( ) pour résoudre directement celle-ci. On verra dans cet exemple la notion de régime permanent pour ce circuit et la partie transitoire de la solution.
• Faites les exercices 3.11 à 3.17 de cette section à la page 107.
  Je vous recommande fortement de lire ces deux sections (3.1 et 3.2) des notes de cours pour compléter cette matière vue aujourd'hui. Je montrerai également au TP la notion de problèmes de mélange dans la section 3.3 (page 109-110). Vous avez intérêt à lire l'exemple 3.10 à la page 110 où les débits d'entrée et de sortie ne sont pas les mêmes, ce qui correspond au numéro 5 du devoir.  Faites les exercices 3.20 à 3.21 de cette section à la page 113.
• Au prochain TP, je vous laisserai du temps pour travailler le devoir et pour répondre à vos questions. La semaine prochaine, nous verrons dans le chapitre 4 les pages 119 à 148.

Cours 3: mercredi le 21 janvier 2026  

• Rappels: n'oubliez pas le mini-test lundi prochain le 26 janvier à 13h30 au début du TP (voir détails au cours 2). La matière vue aujourd'hui n'est pas incluse pour le mini-test de lundi.
  De plus, le devoir 1 est à remettre au plus tard à 9h00 mercredi matin le 28 janvier via ce site Moodle, dans l'onglet «Devoirs et tests»
  Je suis revenu sur la loi de refroidissement de Newton (page 48), que nous avions déjà vue au chapitre 1. J'ai souligné que vous pouviez passé directement à la solution générale (équation 2.4 en bas de la page 48) après avoir posé l'équation différentielle (voir équation 2.3). On a considéré l'exercice 2.6 à la page 51. Comme on le voit dans les exemples aux pages 49 et 50, j'ai montré les différentes façon d'écrire la solution, en regardant les calculs faits manuellement, ou avec Nspire.
• Nous avons ensuite continué dans le chapitre 2 à voir certaines techniques de résolution algébrique des équations différentielles d'ordre 1. En particulier, nous avons vu les équations linéaires, l'équation de Bernoulli et l'équation homogène tout en insistant sur le concept de changement de variables (sections 2.2 et 2.4). La section 2.3 sur les équations exactes n'a pas été vue, vous pouvez l'omettre et elle ne sera pas évaluée.
  Pour les techniques de cette semaine, j'ai insisté sur la reconnaissance de la forme de l'équation différentielle, en la transformant au besoin pour atteindre les formes classiques voulues (séparable, linéaire, Bernoulli ou homogène). Pour l'équation linéaire, vous utilisez directement la procédure en 2 étapes indiquée dans l'encadré de la page 55. J'ai mentionné rapidement, dans la section 2.2, la désintégration radioactive (pages 59-60) qui est un sujet facile car la solution générale est simple et toujours la même...
• Pour l'équation homogène, on utilise la procédure donnée en haut de la page 73. Dans l'exemple fait en classe, j'ai montré l'utilisation de la calculatrice autant pour obtenir le résultat du changement de variables, que pour effectuer les intégrales et simplifier la solution obtenue en des formes équivalentes.
• Pour l'équation de Bernoulli, appliquez les étapes de résolution indiquées dans l'encadré de la page 77.
• Pour les exercices dans les sections 2.2 faites le numéro 2.11 à la page 61. Attention, on vous demande ici seulement de vérifier si l'équation est linéaire, vous n'avez pas à la résoudre. Faites également les numéros 2.12 et 2.13 (faites-en au moins 1 sur 2), 2.14, 2.15 et 2.16 et pour ceux qui n'ont pas de difficultés, considérez les numéros 2.17 et 2.22 (numéros optionnels plus difficiles).
• Dans la section 2.4, à la page 79, faites les exercices 2.29, 2.30, 2.31 et 2.33. Après avoir fait tous les autres, vous pouvez aussi regarder le numéro 2.34 a) et c)(optionnel). Finalement, pour vous préparer à l'examen intra, vous pourrez faire les numéros 2.36 (sauf f) et k)) et 2.37 b) à f) à la page 80.
  Dans les numéros avec plusieurs équations à résoudre, il est préférable d'en faire 1 sur 2 ou 1 sur 3 et couvrir tous les exercices à faire.
• Je vous rappelle qu'il faut être prudent dans l'utilisation de la calculatrice lors des examens. Quoique vous puissiez utiliser celle-ci pour le calcul de dérivées et d'intégrales, il faut cependant indiquer les étapes des calculs intermédiaires et montrer, au besoin, les étapes des calculs algébriques.
• Au prochain cours, nous travaillerons dans les applications du chapitre 3. Je vous distribuerai le devoir 2.  Vous aurez 2 semaines pour faire ce devoir.

Cours 2: mercredi le 14 janvier 2026  

• Je suis revenu sur certaines questions touchant le cours 1 et le tp de lundi. J'ai clarifié le type de dérivées ou d'intégrales que vous devez savoir faire manuellement. Vous devez savoir procéder avec la table que pour des situations simples telle une application directe des formules 1 à 5 autant en dérivation qu'en intégration. Une règle simple à suivre: si je fais un directement au tableau une dérivée ou une intégrale, vous devriez aussi pouvoir le faire sans calculatrice à l'aide de votre table au besoin.
• On a discuté en classe de l'exercice 1.7 à la page 20. À la sous-question c), j'ai expliqué les limites de la commande solve( ) de Nspire, quand elle résoud numériquement une équation. On a vu comment faire le graphe de la solution (la position) du problème. J'ai montré l'environnement graphique de votre calculatrice.
• Je vous rappelle que toutes les dates d'évaluations sont déjà saisies dans SIGNETS. Pour les devoirs, les dates indiquées sont celles de la remise de ceux-ci. Pour le devoir 1, l'énoncé du devoir 1 est disponible, sur votre site Moodle (dans l'onglet «Devoirs et tests» lisez bien les directives à cet endroit). Il sera à remettre (1 copie par équipes) via le site Moodle en 1 fichier PDF au plus tard à 9h00 le 28 janvier. Les équipes définitives pour les devoirs sont également accessibles à cet endroit (et dans Signets).
  Vous devrez attendre le cours de la semaine prochaine (cours 3) pour faire les numéros 3b) et 4 de ce devoir.
• Vous aurez également un mini-test formatif à la première heure du tp (donc à 13h30) lundi le 26 janvier. Vous aurez droit comme documentation au mini-test 1 à: 3 feuilles 81/2 par 11 recto-verso aide-mémoire, le formulaire algèbre-trigo et la table avec les formules de dérivation et d'intégration . La calculatrice n'est pas permise aux mini-tests. Le mini-test devrait durer environ 45 minutes et portera sur la matière vue au cours 1 et 2.
• On a continué le cours en voyant, dans la section 1.3, comment produire avec votre calculatrice un champ de pentes (pages 21 à 24). J'ai montré en détails l'utilisation d'une fenêtre graphique en mode Éq. diff. pour produire ces champs de pentes, avec des estimés de solutions pour une ou plusieurs conditions initiales. On s'est ensuite attardé sur la méthode utilisée pour générer, à partir d'une condition initiale, une courbe (plutôt une liste de points...) estimant numériquement la solution d'une équation différentielle d'ordre 1. On a ainsi abordé dans cette section la méthode d'Euler aux pages 25 à 29. C'est cette méthode que Nspire utilise pour tracer numériquement des solutions avec nos champs de pentes lorsqu'on fournit une ou des conditions initiales avec l'équation différentielle. J'ai expliqué en détails cette méthode et on a regardé l'exemple de la page 27 pour bien comprendre la mécanique de cette méthode. On a produit une table de valeurs avec Nspire, dans le mode graphique Éq. diff. et on a vu l'impact de l'augmentation du nombre d'étapes sur la précision du résultat. On a doublé le nombre d'étapes jusqu'à ce qu'on obtienne 2 décimales de précision ou presque... (en arrondissant à 2 D les réponses) Je ferai l'exemple 1.16 à la page 29 au TP lundi prochain.
• En exercices vous devrez pouvoir produire un tableau comme celui de l'exemple à la page 27. Nous avons vu comment utiliser la TI pour effectuer et afficher le résultat de l'utilisation de cette méthode. Le document suivant explique en détails comment utilisez Nspire pour produire des champs de pentes et ce type de solutions numériques. Voici également le fichier Nspire avec les exemples de ce document.
• Pour les exercices de la section 1.3, faites les numéros 1.12 à 1.25 à la page 30.
• À la section 1.4, pages 31 à 33, j'ai très rapidement montré un théorème donnant des condition suffisantes à l'existence d'une solution pour une équation d'ordre 1 avec condition initiale. Vous pouvez sauter le reste de cette section pages 33 et suivantes. Il n'y aura pas d'exercices sur cette section. Vous pouvez cependant lire l'exemple 1.20 aux pages 36-37 pour voir la syntaxe de la commande DeSolve( ).
• J'ai par la suite présenté la notion d'équations différentielles d'ordre 1, à variables séparables à la section 2.1 du chapitre 2. On a vu que vous devez, si nécessaire, faire manuellement les manipulations algébriques pour séparer les variables. Cette technique peut souvent produire des solutions implicites plutôt qu'explicites. Pour les 2 intégrales à effectuer, si le cas est simple, on l'effectue en utilisant la table, sinon on utilise Nspire pour les faire. J'ai terminé cette section en mentionnant la loi de refroidissement de Newton (pages 48 à 50) déjà présentée au chapitre 1. J'ai fait remarquer que la solution de l'équation de la température, qui est une équation différentielle à variables séparables, est toujours celle donnée à l'équation 2.4 en bas de la page 48. Lisez la section 2.1 (pages 43 à 50) pour compléter ce que j'ai fait en classe.
• Comme exercices dans le chapitre 2, faites les numéros 2.1, 2.2 et 2.6 à 2.10 aux pages 50 à 52. Voici un lien direct pour le solutionnaire du chapitre 2.
• Au prochain cours, nous verrons les sections 2.2 et 2.4 du chapitre 2. La section 2.3 sur les équations exactes ne sera pas vue.

• En plus de la présentation du cours et du plan de cours, j'ai signalé l'importance de pouvoir exécuter plusieurs opérations classiques avec la calculatrice symbolique (TI-Nspire CX CAS), entre autres la résolution des équations et des systèmes d'équations, le tracé de graphiques ainsi que le calcul de dérivées et d'intégrales. Je vous souligne que vous pouvez consulter, au besoin, le site Internet de support sur l'utilisation des calculatrices TI CX CAS ou l'ancien site de support. Au TP lundi prochain, je montrerai à l'aide d'exemple, ces différents sujets avec votre calculatrice Nspire.
• J'ai précisé, pour ce qui est de l'évaluation, que vous aurez quatre devoirs (à faire en équipes de 3 à 4 personnes) comptant chacun pour 7,5% et deux mini-tests formatifs ne comptant pas pour la note finale. Le premier mini-test aura lieu au début du TP qui suit le 3e cours de la session, cela donne lundi le 26 janvier lors de la première heure du TP. Vous aurez droit comme documentation au mini-test 1 à: 3 feuilles 81/2 par 11 recto-verso aide-mémoire, le formulaire algèbre-trigo et la table avec les formules de dérivation et d'intégration (les annexes 1 et 2 des notes de cours) .La calculatrice n'est pas permise aux mini-tests. Le mini-test devrait durer environ 45 minutes et portera sur la matière vue au cours 1 et 2 (probablement le chapitre 1 et le début du chapitre 2 des notes de cours).
  Le 2e mini-test sera au début du TP qui suit le cours 10 (lundi le 23 mars) et portera sur les cours 8 et 9. La documentation permise sera la même qu'au mini-test 1 en y ajoutant la table de transformées de Laplace. Pour l'examen intra (18 février), vous aurez droit à la même documentation qu'au mini-test 1, avec votre calculatrice seulement pour la 2e partie de l'examen.
• J'ai présenté à ce premier cours les équations différentielles et leur importance en sciences et en génie. Nous avons vu certaines définitions et notions de base, les notions de solution générale et de solution particulière d'une équation différentielle et nous avons résolu certaines équations différentielles, à la main pour des équations directement intégrables, et avec la commande deSolve( ) sur la calculatrice pour valider certaines réponses ou pour des équations non directement intégrables.
  La syntaxe pour la commande deSolve de votre TI est
       deSolve(equation différentielle" and cond. initiales",variable indépendante,variable dépendante)
  Cette commande ne peut être utilisé que pour vérifier des réponses ou lorsqu'on vous demande de l'utiliser (chap 3).
• J'ai montré également comment vérifier qu'une solution explicite ou implicite est solution d'une équation différentielle; dans le cas de solution implicite, je suis revenu sur la notion de dérivation implicite vue en MAT-145 (et en MAT-165 pour ceux qui l'ont fait). Au TP, je montrerai qu'avec Nspire, on peut faire une dérivation implicite en utilisant la commande
       impDif(equation,variable indépendante,variable dépendante), c'est l'avant-dernière commande du menu "Analyse" sur votre calculatrice. Je verrai également au TP les détails de l'exemple de la température du café, avec certaines parties résolues manuellement et d'autres avec votre calculatrice Nspire.
• Au prochain TP, nous reviendrons sur certaines notions de base en mathématiques, par exemple les propriétés des exponentielles et des logarithmes, que l'on retrouve dans le formulaire mathématique à l'annexe A.1 des notes de cours ( ou avec ce lien). Comme au cours aujourd'hui, nous reviendrons aussi revu certaines notions du calcul différentiel et intégral. Nous utiliserons la table de dérivation et d'intégration pour résoudre manuellement certaines équations (simples) directement intégrables.
  
• En résumé, nous avons vu, lors de ce premier cours, les sections 1.1 et 1.2 des notes de cours.
• Assurez-vous d'avoir votre calculatrice au prochain TP. Pour compléter mon cours, lisez jusqu'à la page 20 du manuel (laisser tomber la page 8 et l'exemple 1.12 à la page 17).
  Faites les exercices 1.1 à 1.11 aux pages 9 et 19 sauf les numéros 1.4b), 1.8 et 1.9.
• Les solutions des exercices du chapitre 1 sont disponibles sur mon site d'aide en MAT265, dans la section "Documents de référence". Voici un lien direct.
• Au cours 2, la semaine prochaine, nous ferons la section 1.3 et nous verrons certaines parties de la section 1.4 ainsi que la section 2.1 au complet.